Theorem opeq1 3549

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2100	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi1d 438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3		sneq 3386	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4		preq1 3447	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
5	3, 4	preq12d 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
6	5	eleq2d 2107	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
7	2, 6	anbi12d 442	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8		df-3an 887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9		df-3an 887	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 212	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
11	10	abbidv 2155	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12		df-op 3384	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13		df-op 3384	. 2 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2097	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {cab 2026  Vcvv 2557  {csn 3375  {cpr 3376  ⟨cop 3378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384

This theorem is referenced by:  opeq12  3551  opeq1i  3552  opeq1d  3555  oteq1  3558  breq1  3767  cbvopab1  3830  cbvopab1s  3832  opthg  3975  eqvinop  3980  opelopabsb  3997  opelxp  4374  elvvv  4403  opabid2  4467  opeliunxp2  4476  elsnres  4647  elimasng  4693  rnxpid  4755  dmsnopg  4792  cnvsng  4806  elxp4  4808  elxp5  4809  funopg  4934  f1osng  5167  dmfco  5241  fvelrn  5298  fsng  5336  fvsng  5359  funfvima3  5392  oveq1  5519  oprabid  5537  dfoprab2  5552  cbvoprab1  5576  opabex3d  5748  opabex3  5749  op1stg  5777  op2ndg  5778  dfoprab4f  5819  fundmen  6286  xpsnen  6295  xpassen  6304  ltexnqq  6506  archnqq  6515  prarloclemarch2  6517  prarloclemlo  6592  prarloclem3  6595  prarloclem5  6598  caucvgprlemnkj  6764  caucvgprlemnbj  6765  caucvgprlemm  6766  caucvgprlemdisj  6772  caucvgprlemloc  6773  caucvgprlemcl  6774  caucvgprlemladdfu  6775  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprlem1  6777  caucvgprlem2  6778  caucvgpr  6780  caucvgprprlemell  6783  caucvgprprlemelu  6784  caucvgprprlemcbv  6785  caucvgprprlemval  6786  caucvgprprlemnkeqj  6788  caucvgprprlemmu  6793  caucvgprprlemopl  6795  caucvgprprlemlol  6796  caucvgprprlemopu  6797  caucvgprprlemloc  6801  caucvgprprlemclphr  6803  caucvgprprlemexbt  6804  caucvgprprlem1  6807  caucvgprprlem2  6808  caucvgsr  6886  elrealeu  6906  pitonn  6924  nntopi  6968  axcaucvglemval  6971  axcaucvg  6974