Theorem nqprm 6640

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 6645. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 6510	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
2		vex 2560	. . . . 5 ⊢ 𝑞 ∈ V
3		breq1 3767	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
4	2, 3	elab 2687	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
5	4	rexbii 2331	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
6	1, 5	sylibr 137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
7		archnqq 6515	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )
8		df-rex 2312	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
9	7, 8	sylib 127	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
10		1pi 6413	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ∈ N
11		opelxpi 4376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 6458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6160	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	10, 14	mpan2 401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16		df-nqqs 6446	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
17	15, 16	syl6eleqr 2131	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
18		breq2 3768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
19	18	rspcev 2656	. . . . . 6 ⊢ (([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
20	17, 19	sylan 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
21	20	exlimiv 1489	. . . 4 ⊢ (∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
22	9, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
23		vex 2560	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
24		breq2 3768	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
25	23, 24	elab 2687	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
26	25	rexbii 2331	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
27	22, 26	sylibr 137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
28	6, 27	jca 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  {cab 2026  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764   × cxp 4343  1_𝑜c1o 5994  [cec 6104   / cqs 6105  Ncnpi 6370   ~_Q ceq 6377  Qcnq 6378   <_Q cltq 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451

This theorem is referenced by:  nqprxx  6644