ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1 Structured version   GIF version

Theorem nnm1 6004
Description: Multiply an element of 𝜔 by 1𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1 (A 𝜔 → (A ·𝑜 1𝑜) = A)

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 5912 . . 3 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 5443 . 2 (A ·𝑜 1𝑜) = (A ·𝑜 suc ∅)
3 peano1 4240 . . . 4 𝜔
4 nnmsuc 5967 . . . 4 ((A 𝜔 𝜔) → (A ·𝑜 suc ∅) = ((A ·𝑜 ∅) +𝑜 A))
53, 4mpan2 403 . . 3 (A 𝜔 → (A ·𝑜 suc ∅) = ((A ·𝑜 ∅) +𝑜 A))
6 nnm0 5965 . . . 4 (A 𝜔 → (A ·𝑜 ∅) = ∅)
76oveq1d 5447 . . 3 (A 𝜔 → ((A ·𝑜 ∅) +𝑜 A) = (∅ +𝑜 A))
8 nna0r 5968 . . 3 (A 𝜔 → (∅ +𝑜 A) = A)
95, 7, 83eqtrd 2054 . 2 (A 𝜔 → (A ·𝑜 suc ∅) = A)
102, 9syl5eq 2062 1 (A 𝜔 → (A ·𝑜 1𝑜) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1226   wcel 1370  c0 3197  suc csuc 4047  𝜔com 4236  (class class class)co 5432  1𝑜c1o 5905   +𝑜 coa 5909   ·𝑜 comu 5910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-oadd 5916  df-omul 5917
This theorem is referenced by:  nnm2  6005  mulidpi  6172  archnqq  6268  nq0a0  6306  nq02m  6313
  Copyright terms: Public domain W3C validator