ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 Structured version   GIF version

Theorem nq0a0 6439
Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0 (A Q0 → (A +Q0 0Q0) = A)

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6424 . 2 (A Q0wv((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 6408 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3 oveq12 5464 . . . . . 6 ((A = [⟨w, v⟩] ~Q0 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan2 401 . . . . 5 (A = [⟨w, v⟩] ~Q0 → (A +Q0 0Q0) = ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4260 . . . . . 6 𝜔
6 1pi 6299 . . . . . 6 1𝑜 N
7 addnnnq0 6431 . . . . . 6 (((w 𝜔 v N) (∅ 𝜔 1𝑜 N)) → ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanr12 415 . . . . 5 ((w 𝜔 v N) → ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2091 . . . 4 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
10 pinn 6293 . . . . . . . . . 10 (v Nv 𝜔)
11 nnm0 5993 . . . . . . . . . . 11 (v 𝜔 → (v ·𝑜 ∅) = ∅)
1211oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (v 𝜔 → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)) = ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (v N → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)) = ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
14 nnm1 6033 . . . . . . . . . . 11 (w 𝜔 → (w ·𝑜 1𝑜) = w)
1514oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 (w 𝜔 → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = (w +𝑜 ∅))
16 nna0 5992 . . . . . . . . . 10 (w 𝜔 → (w +𝑜 ∅) = w)
1715, 16eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 (w 𝜔 → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = w)
1813, 17sylan9eqr 2091 . . . . . . . 8 ((w 𝜔 v N) → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)) = w)
19 nnm1 6033 . . . . . . . . . 10 (v 𝜔 → (v ·𝑜 1𝑜) = v)
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (v N → (v ·𝑜 1𝑜) = v)
2120adantl 262 . . . . . . . 8 ((w 𝜔 v N) → (v ·𝑜 1𝑜) = v)
2218, 21opeq12d 3548 . . . . . . 7 ((w 𝜔 v N) → ⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩ = ⟨w, v⟩)
2322eceq1d 6078 . . . . . 6 ((w 𝜔 v N) → [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 = [⟨w, v⟩] ~Q0 )
2423eqeq2d 2048 . . . . 5 ((w 𝜔 v N) → (A = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
2524biimpar 281 . . . 4 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → A = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
269, 25eqtr4d 2072 . . 3 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = A)
2726exlimivv 1773 . 2 (wv((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = A)
281, 27syl 14 1 (A Q0 → (A +Q0 0Q0) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  c0 3218  cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933   +𝑜 coa 5937   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271  0Q0c0q0 6272   +Q0 cplq0 6273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6482
  Copyright terms: Public domain W3C validator