Theorem nq0a0 6555

Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 6540	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 6524	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3		oveq12 5521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 401	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4317	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 6413	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ N
7		addnnnq0 6547	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2094	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
10		pinn 6407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
11		nnm0 6054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
14		nnm1 6097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
15	14	oveq1d 5527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑤 +𝑜 ∅))
16		nna0 6053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +𝑜 ∅) = 𝑤)
17	15, 16	eqtrd 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = 𝑤)
18	13, 17	sylan9eqr 2094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = 𝑤)
19		nnm1 6097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
21	20	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
22	18, 21	opeq12d 3557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
23	22	eceq1d 6142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2051	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 281	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2075	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
27	26	exlimivv 1776	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∅c0 3224  ⟨cop 3378  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994   +_𝑜 coa 5998   ·_𝑜 comu 5999  [cec 6104  Ncnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384  Q₀cnq0 6385  0_Q0c0q0 6386   +_Q0 cplq0 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6598