Theorem nq0a0 6312

Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (A ∈ Q0 → (A +Q0 0Q0) = A)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 6297	. 2 ⊢ (A ∈ Q0 → ∃w∃v((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 6281	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3		oveq12 5445	. . . . . 6 ⊢ ((A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 403	. . . . 5 ⊢ (A = [⟨w, v⟩] ~Q0 → (A +Q0 0Q0) = ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4244	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝜔
6		1pi 6175	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ N
7		addnnnq0 6304	. . . . . 6 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ (∅ ∈ 𝜔 ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 418	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ([⟨w, v⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2076	. . . 4 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
10		pinn 6169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ N → v ∈ 𝜔)
11		nnm0 5969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v ∈ 𝜔 → (v ·𝑜 ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 5452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ 𝜔 → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)) = ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ N → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)) = ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
14		nnm1 6008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ 𝜔 → (w ·𝑜 1𝑜) = w)
15	14	oveq1d 5451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ 𝜔 → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = (w +𝑜 ∅))
16		nna0 5968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ 𝜔 → (w +𝑜 ∅) = w)
17	15, 16	eqtrd 2054	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ 𝜔 → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = w)
18	13, 17	sylan9eqr 2076	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)) = w)
19		nnm1 6008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ 𝜔 → (v ·𝑜 1𝑜) = v)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ N → (v ·𝑜 1𝑜) = v)
21	20	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → (v ·𝑜 1𝑜) = v)
22	18, 21	opeq12d 3531	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩ = ⟨w, v⟩)
23	22	eceq1d 6053	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 = [⟨w, v⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2033	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → (A = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 ↔ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 281	. . . 4 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → A = [⟨((w ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (v ·𝑜 ∅)), (v ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2057	. . 3 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = A)
27	26	exlimivv 1758	. 2 ⊢ (∃w∃v((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 0Q0) = A)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (A ∈ Q0 → (A +Q0 0Q0) = A)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  ∅c0 3201  ⟨cop 3353  𝜔com 4240  (class class class)co 5436  1_𝑜c1o 5909   +_𝑜 coa 5913   ·_𝑜 comu 5914  [cec 6015  Ncnpi 6130   ~_Q0 ceq0 6144  Q₀cnq0 6145  0_Q0c0q0 6146   +_Q0 cplq0 6147

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-0nq0 6281  df-plq0 6282

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6354