ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem5 Structured version   GIF version

Theorem prarloclem5 6483
Description: A substitution of zero for y and 𝑁 minus two for x. Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
Distinct variable groups:   x,A,y   x,𝐿,y   x,𝑁   x,𝑃,y   x,𝑈,y
Allowed substitution hint:   𝑁(y)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 6482 . . . 4 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
213adant2 922 . . 3 ((𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
323ad2ant2 925 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
4 elprnql 6464 . . . . . . 7 ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) → A Q)
543ad2ant1 924 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → A Q)
6 simp22 937 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑃 Q)
7 nqnq0 6424 . . . . . . . . 9 QQ0
87sseli 2935 . . . . . . . 8 (A QA Q0)
9 nq0a0 6440 . . . . . . . 8 (A Q0 → (A +Q0 0Q0) = A)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (A Q → (A +Q0 0Q0) = A)
11 df-0nq0 6409 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
1211oveq1i 5465 . . . . . . . . 9 (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
137sseli 2935 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Q𝑃 Q0)
14 nq0m0r 6439 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑃 Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1612, 15syl5reqr 2084 . . . . . . . 8 (𝑃 Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
1716oveq2d 5471 . . . . . . 7 (𝑃 Q → (A +Q0 0Q0) = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
1810, 17sylan9req 2090 . . . . . 6 ((A Q 𝑃 Q) → A = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
195, 6, 18syl2anc 391 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → A = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20 simp1r 928 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → A 𝐿)
2119, 20eqeltrrd 2112 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿)
22 2onn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15 2𝑜 𝜔
23 nna0r 5996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2𝑜 𝜔 → (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜)
2422, 23ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜
2524oveq1i 5465 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = (2𝑜 +𝑜 x)
2625eqeq1i 2044 . . . . . . . . . . . 12 (((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = 𝑁 ↔ (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
2726biimpri 124 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = 𝑁)
2827opeq1d 3546 . . . . . . . . . 10 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨𝑁, 1𝑜⟩)
2928eceq1d 6078 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q )
3029oveq1d 5470 . . . . . . . 8 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3130oveq2d 5471 . . . . . . 7 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3231eleq1d 2103 . . . . . 6 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ((A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
3332biimprcd 149 . . . . 5 ((A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 → ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
34333ad2ant3 926 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
35 peano1 4260 . . . . 5 𝜔
36 opeq1 3540 . . . . . . . . . . 11 (y = ∅ → ⟨y, 1𝑜⟩ = ⟨∅, 1𝑜⟩)
3736eceq1d 6078 . . . . . . . . . 10 (y = ∅ → [⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3837oveq1d 5470 . . . . . . . . 9 (y = ∅ → ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
3938oveq2d 5471 . . . . . . . 8 (y = ∅ → (A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
4039eleq1d 2103 . . . . . . 7 (y = ∅ → ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 ↔ (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿))
41 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (y = ∅ → (y +𝑜 2𝑜) = (∅ +𝑜 2𝑜))
4241oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12 (y = ∅ → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x))
4342opeq1d 3546 . . . . . . . . . . 11 (y = ∅ → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩)
4443eceq1d 6078 . . . . . . . . . 10 (y = ∅ → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q )
4544oveq1d 5470 . . . . . . . . 9 (y = ∅ → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
4645oveq2d 5471 . . . . . . . 8 (y = ∅ → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4746eleq1d 2103 . . . . . . 7 (y = ∅ → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
4840, 47anbi12d 442 . . . . . 6 (y = ∅ → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
4948rspcev 2650 . . . . 5 ((∅ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
5035, 49mpan 400 . . . 4 (((A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
5121, 34, 50syl6an 1320 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
5251reximdv 2414 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → (x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
533, 52mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  c0 3218  cop 3370   class class class wbr 3755  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  2𝑜c2o 5934   +𝑜 coa 5937  [cec 6040  Ncnpi 6256   <N clti 6259   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271  0Q0c0q0 6272   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  prarloclem  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator