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Theorem prarloclem5 6598
Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 6601. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 6597 . . . 4 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
213adant2 923 . . 3 ((𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
323ad2ant2 926 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
4 elprnql 6579 . . . . . . 7 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
543ad2ant1 925 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴Q)
6 simp22 938 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃Q)
7 nqnq0 6539 . . . . . . . . 9 QQ0
87sseli 2941 . . . . . . . 8 (𝐴Q𝐴Q0)
9 nq0a0 6555 . . . . . . . 8 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝐴Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11 df-0nq0 6524 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
1211oveq1i 5522 . . . . . . . . 9 (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
137sseli 2941 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q𝑃Q0)
14 nq0m0r 6554 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑃Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1612, 15syl5reqr 2087 . . . . . . . 8 (𝑃Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
1716oveq2d 5528 . . . . . . 7 (𝑃Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
1810, 17sylan9req 2093 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑃Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
195, 6, 18syl2anc 391 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20 simp1r 929 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴𝐿)
2119, 20eqeltrrd 2115 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22 2onn 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15 2𝑜 ∈ ω
23 nna0r 6057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2𝑜 ∈ ω → (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜)
2422, 23ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜
2524oveq1i 5522 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = (2𝑜 +𝑜 𝑥)
2625eqeq1i 2047 . . . . . . . . . . . 12 (((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = 𝑁 ↔ (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
2726biimpri 124 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = 𝑁)
2827opeq1d 3555 . . . . . . . . . 10 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨𝑁, 1𝑜⟩)
2928eceq1d 6142 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q )
3029oveq1d 5527 . . . . . . . 8 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3130oveq2d 5528 . . . . . . 7 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3231eleq1d 2106 . . . . . 6 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3332biimprcd 149 . . . . 5 ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34333ad2ant3 927 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35 peano1 4317 . . . . 5 ∅ ∈ ω
36 opeq1 3549 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1𝑜⟩ = ⟨∅, 1𝑜⟩)
3736eceq1d 6142 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3837oveq1d 5527 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
3938oveq2d 5528 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
4039eleq1d 2106 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 +𝑜 2𝑜) = (∅ +𝑜 2𝑜))
4241oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥))
4342opeq1d 3555 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩)
4443eceq1d 6142 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q )
4544oveq1d 5527 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
4645oveq2d 5528 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4746eleq1d 2106 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
4840, 47anbi12d 442 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4948rspcev 2656 . . . . 5 ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5035, 49mpan 400 . . . 4 (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5121, 34, 50syl6an 1323 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5251reximdv 2420 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
533, 52mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  wrex 2307  c0 3224  cop 3378   class class class wbr 3764  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1𝑜c1o 5994  2𝑜c2o 5995   +𝑜 coa 5998  [cec 6104  Ncnpi 6370   <N clti 6373   ~Q ceq 6377  Qcnq 6378   +Q cplq 6380   ·Q cmq 6381   ~Q0 ceq0 6384  Q0cnq0 6385  0Q0c0q0 6386   +Q0 cplq0 6387   ·Q0 cmq0 6388  Pcnp 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564
This theorem is referenced by:  prarloclem  6599
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