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Theorem prarloclem5 6354
Description: A substitution of zero for y and 𝑁 minus two for x. Lemma for prarloc 6357. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
Distinct variable groups:   x,A,y   x,𝐿,y   x,𝑁   x,𝑃,y   x,𝑈,y
Allowed substitution hint:   𝑁(y)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 6353 . . . 4 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
213adant2 911 . . 3 ((𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
323ad2ant2 914 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
4 elprnql 6335 . . . . . . 7 ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) → A Q)
543ad2ant1 913 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → A Q)
6 simp22 926 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑃 Q)
7 nqnq0 6296 . . . . . . . . 9 QQ0
87sseli 2918 . . . . . . . 8 (A QA Q0)
9 nq0a0 6312 . . . . . . . 8 (A Q0 → (A +Q0 0Q0) = A)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (A Q → (A +Q0 0Q0) = A)
11 df-0nq0 6281 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
1211oveq1i 5446 . . . . . . . . 9 (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
137sseli 2918 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Q𝑃 Q0)
14 nq0m0r 6311 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑃 Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1612, 15syl5reqr 2069 . . . . . . . 8 (𝑃 Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
1716oveq2d 5452 . . . . . . 7 (𝑃 Q → (A +Q0 0Q0) = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
1810, 17sylan9req 2075 . . . . . 6 ((A Q 𝑃 Q) → A = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
195, 6, 18syl2anc 393 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → A = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20 simp1r 917 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → A 𝐿)
2119, 20eqeltrrd 2097 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿)
22 2onn 6005 . . . . . . . . . . . . . . 15 2𝑜 𝜔
23 nna0r 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2𝑜 𝜔 → (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜)
2422, 23ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜
2524oveq1i 5446 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = (2𝑜 +𝑜 x)
2625eqeq1i 2029 . . . . . . . . . . . 12 (((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = 𝑁 ↔ (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
2726biimpri 124 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = 𝑁)
2827opeq1d 3529 . . . . . . . . . 10 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨𝑁, 1𝑜⟩)
2928eceq1d 6053 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q )
3029oveq1d 5451 . . . . . . . 8 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3130oveq2d 5452 . . . . . . 7 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3231eleq1d 2088 . . . . . 6 ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → ((A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
3332biimprcd 149 . . . . 5 ((A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 → ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
34333ad2ant3 915 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁 → (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
35 peano1 4244 . . . . 5 𝜔
36 opeq1 3523 . . . . . . . . . . 11 (y = ∅ → ⟨y, 1𝑜⟩ = ⟨∅, 1𝑜⟩)
3736eceq1d 6053 . . . . . . . . . 10 (y = ∅ → [⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3837oveq1d 5451 . . . . . . . . 9 (y = ∅ → ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
3938oveq2d 5452 . . . . . . . 8 (y = ∅ → (A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
4039eleq1d 2088 . . . . . . 7 (y = ∅ → ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 ↔ (A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿))
41 oveq1 5443 . . . . . . . . . . . . 13 (y = ∅ → (y +𝑜 2𝑜) = (∅ +𝑜 2𝑜))
4241oveq1d 5451 . . . . . . . . . . . 12 (y = ∅ → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x))
4342opeq1d 3529 . . . . . . . . . . 11 (y = ∅ → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩)
4443eceq1d 6053 . . . . . . . . . 10 (y = ∅ → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q )
4544oveq1d 5451 . . . . . . . . 9 (y = ∅ → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
4645oveq2d 5452 . . . . . . . 8 (y = ∅ → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4746eleq1d 2088 . . . . . . 7 (y = ∅ → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
4840, 47anbi12d 445 . . . . . 6 (y = ∅ → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
4948rspcev 2633 . . . . 5 ((∅ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
5035, 49mpan 402 . . . 4 (((A +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
5121, 34, 50ee12an 1302 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
5251reximdv 2398 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → (x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
533, 52mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑁 N 𝑃 Q 1𝑜 <N 𝑁) (A +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  wrex 2285  c0 3201  cop 3353   class class class wbr 3738  𝜔com 4240  (class class class)co 5436  1𝑜c1o 5909  2𝑜c2o 5910   +𝑜 coa 5913  [cec 6015  Ncnpi 6130   <N clti 6133   ~Q ceq 6137  Qcnq 6138   +Q cplq 6140   ·Q cmq 6141   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145  0Q0c0q0 6146   +Q0 cplq0 6147   ·Q0 cmq0 6148  Pcnp 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-2o 5917  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-lti 6167  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-0nq0 6281  df-plq0 6282  df-mq0 6283  df-inp 6320
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