Theorem nq0m0r 6305

Description: Multiplication with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	⊢ (A ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 6291	. 2 ⊢ (A ∈ Q0 → ∃w∃v((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 6275	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3		oveq12 5441	. . . . . 6 ⊢ ((0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan 402	. . . . 5 ⊢ (A = [⟨w, v⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4240	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝜔
6		1pi 6169	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ N
7		mulnnnq0 6299	. . . . . 6 ⊢ (((∅ ∈ 𝜔 ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N)) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 414	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2072	. . . 4 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
10		nnm0r 5969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) = ∅)
11	10	oveq1d 5447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = (∅ ·𝑜 1𝑜))
12		1onn 6000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ 𝜔
13		nnm0r 5969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1𝑜 ∈ 𝜔 → (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅
15	11, 14	syl6eq 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
16	15	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
17		mulpiord 6171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ v ∈ N) → (1𝑜 ·N v) = (1𝑜 ·𝑜 v))
18		mulclpi 6182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ v ∈ N) → (1𝑜 ·N v) ∈ N)
19	17, 18	eqeltrrd 2093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ v ∈ N) → (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N)
20	6, 19	mpan 402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ N → (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N)
21		pinn 6163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N → (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ 𝜔)
22		nnm0 5965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 ·𝑜 v) ∈ 𝜔 → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ N → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
24	23	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
25	16, 24	eqtr4d 2053	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅))
26	10, 5	syl6eqel 2106	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) ∈ 𝜔)
27		enq0eceq 6286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ·𝑜 w) ∈ 𝜔 ∧ (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N) ∧ (∅ ∈ 𝜔 ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
28	5, 6, 27	mpanr12 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ·𝑜 w) ∈ 𝜔 ∧ (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
29	26, 20, 28	syl2an 273	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
30	25, 29	mpbird 156	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
31	30, 2	syl6eqr 2068	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
32	31	adantr 261	. . . 4 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
33	9, 32	eqtrd 2050	. . 3 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
34	33	exlimivv 1754	. 2 ⊢ (∃w∃v((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
35	1, 34	syl 14	1 ⊢ (A ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  ∅c0 3197  ⟨cop 3349  𝜔com 4236  (class class class)co 5432  1_𝑜c1o 5905   ·_𝑜 comu 5910  [cec 6011  Ncnpi 6126   ·_N cmi 6128   ~_Q0 ceq0 6140  Q₀cnq0 6141  0_Q0c0q0 6142   ·_Q0 cmq0 6144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-mq0 6277

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6348