Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0m0r Structured version   GIF version

Theorem nq0m0r 6305
 Description: Multiplication with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0m0r (A Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r
Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6291 . 2 (A Q0wv((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 6275 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3 oveq12 5441 . . . . . 6 ((0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan 402 . . . . 5 (A = [⟨w, v⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4240 . . . . . 6 𝜔
6 1pi 6169 . . . . . 6 1𝑜 N
7 mulnnnq0 6299 . . . . . 6 (((∅ 𝜔 1𝑜 N) (w 𝜔 v N)) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanl12 414 . . . . 5 ((w 𝜔 v N) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2072 . . . 4 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
10 nnm0r 5969 . . . . . . . . . . 11 (w 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) = ∅)
1110oveq1d 5447 . . . . . . . . . 10 (w 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = (∅ ·𝑜 1𝑜))
12 1onn 6000 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 𝜔
13 nnm0r 5969 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜 𝜔 → (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅
1511, 14syl6eq 2066 . . . . . . . . 9 (w 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1615adantr 261 . . . . . . . 8 ((w 𝜔 v N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
17 mulpiord 6171 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 N v N) → (1𝑜 ·N v) = (1𝑜 ·𝑜 v))
18 mulclpi 6182 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 N v N) → (1𝑜 ·N v) N)
1917, 18eqeltrrd 2093 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜 N v N) → (1𝑜 ·𝑜 v) N)
206, 19mpan 402 . . . . . . . . . 10 (v N → (1𝑜 ·𝑜 v) N)
21 pinn 6163 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 v) N → (1𝑜 ·𝑜 v) 𝜔)
22 nnm0 5965 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 v) 𝜔 → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
2320, 21, 223syl 17 . . . . . . . . 9 (v N → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
2423adantl 262 . . . . . . . 8 ((w 𝜔 v N) → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
2516, 24eqtr4d 2053 . . . . . . 7 ((w 𝜔 v N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅))
2610, 5syl6eqel 2106 . . . . . . . 8 (w 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) 𝜔)
27 enq0eceq 6286 . . . . . . . . 9 ((((∅ ·𝑜 w) 𝜔 (1𝑜 ·𝑜 v) N) (∅ 𝜔 1𝑜 N)) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
285, 6, 27mpanr12 418 . . . . . . . 8 (((∅ ·𝑜 w) 𝜔 (1𝑜 ·𝑜 v) N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
2926, 20, 28syl2an 273 . . . . . . 7 ((w 𝜔 v N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
3025, 29mpbird 156 . . . . . 6 ((w 𝜔 v N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3130, 2syl6eqr 2068 . . . . 5 ((w 𝜔 v N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
3231adantr 261 . . . 4 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
339, 32eqtrd 2050 . . 3 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
3433exlimivv 1754 . 2 (wv((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
351, 34syl 14 1 (A Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  ∅c0 3197  ⟨cop 3349  𝜔com 4236  (class class class)co 5432  1𝑜c1o 5905   ·𝑜 comu 5910  [cec 6011  Ncnpi 6126   ·N cmi 6128   ~Q0 ceq0 6140  Q0cnq0 6141  0Q0c0q0 6142   ·Q0 cmq0 6144 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-mq0 6277 This theorem is referenced by:  prarloclem5  6348
 Copyright terms: Public domain W3C validator