Theorem nq0m0r 6438

Description: Multiplication with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	⊢ (A ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 6424	. 2 ⊢ (A ∈ Q0 → ∃w∃v((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 6408	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3		oveq12 5464	. . . . . 6 ⊢ ((0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan 400	. . . . 5 ⊢ (A = [⟨w, v⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4260	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝜔
6		1pi 6299	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ N
7		mulnnnq0 6432	. . . . . 6 ⊢ (((∅ ∈ 𝜔 ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N)) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 412	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2091	. . . 4 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
10		nnm0r 5997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) = ∅)
11	10	oveq1d 5470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = (∅ ·𝑜 1𝑜))
12		1onn 6029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ 𝜔
13		nnm0r 5997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1𝑜 ∈ 𝜔 → (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅
15	11, 14	syl6eq 2085	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
16	15	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
17		mulpiord 6301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ v ∈ N) → (1𝑜 ·N v) = (1𝑜 ·𝑜 v))
18		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ v ∈ N) → (1𝑜 ·N v) ∈ N)
19	17, 18	eqeltrrd 2112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ v ∈ N) → (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N)
20	6, 19	mpan 400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ N → (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N)
21		pinn 6293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N → (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ 𝜔)
22		nnm0 5993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 ·𝑜 v) ∈ 𝜔 → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ N → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
24	23	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
25	16, 24	eqtr4d 2072	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅))
26	10, 5	syl6eqel 2125	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) ∈ 𝜔)
27		enq0eceq 6419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ·𝑜 w) ∈ 𝜔 ∧ (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N) ∧ (∅ ∈ 𝜔 ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
28	5, 6, 27	mpanr12 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ·𝑜 w) ∈ 𝜔 ∧ (1𝑜 ·𝑜 v) ∈ N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
29	26, 20, 28	syl2an 273	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
30	25, 29	mpbird 156	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
31	30, 2	syl6eqr 2087	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
32	31	adantr 261	. . . 4 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
33	9, 32	eqtrd 2069	. . 3 ⊢ (((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
34	33	exlimivv 1773	. 2 ⊢ (∃w∃v((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ N) ∧ A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
35	1, 34	syl 14	1 ⊢ (A ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218  ⟨cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1_𝑜c1o 5933   ·_𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258   ~_Q0 ceq0 6270  Q₀cnq0 6271  0_Q0c0q0 6272   ·_Q0 cmq0 6274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-mq0 6410

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6482