ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0m0r Structured version   GIF version

Theorem nq0m0r 6438
Description: Multiplication with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0m0r (A Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r
Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6424 . 2 (A Q0wv((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 6408 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3 oveq12 5464 . . . . . 6 ((0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan 400 . . . . 5 (A = [⟨w, v⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4260 . . . . . 6 𝜔
6 1pi 6299 . . . . . 6 1𝑜 N
7 mulnnnq0 6432 . . . . . 6 (((∅ 𝜔 1𝑜 N) (w 𝜔 v N)) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanl12 412 . . . . 5 ((w 𝜔 v N) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨w, v⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2091 . . . 4 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 )
10 nnm0r 5997 . . . . . . . . . . 11 (w 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) = ∅)
1110oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 (w 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = (∅ ·𝑜 1𝑜))
12 1onn 6029 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 𝜔
13 nnm0r 5997 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜 𝜔 → (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅
1511, 14syl6eq 2085 . . . . . . . . 9 (w 𝜔 → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1615adantr 261 . . . . . . . 8 ((w 𝜔 v N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
17 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 N v N) → (1𝑜 ·N v) = (1𝑜 ·𝑜 v))
18 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 N v N) → (1𝑜 ·N v) N)
1917, 18eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜 N v N) → (1𝑜 ·𝑜 v) N)
206, 19mpan 400 . . . . . . . . . 10 (v N → (1𝑜 ·𝑜 v) N)
21 pinn 6293 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 v) N → (1𝑜 ·𝑜 v) 𝜔)
22 nnm0 5993 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 v) 𝜔 → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
2320, 21, 223syl 17 . . . . . . . . 9 (v N → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
2423adantl 262 . . . . . . . 8 ((w 𝜔 v N) → ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅) = ∅)
2516, 24eqtr4d 2072 . . . . . . 7 ((w 𝜔 v N) → ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅))
2610, 5syl6eqel 2125 . . . . . . . 8 (w 𝜔 → (∅ ·𝑜 w) 𝜔)
27 enq0eceq 6419 . . . . . . . . 9 ((((∅ ·𝑜 w) 𝜔 (1𝑜 ·𝑜 v) N) (∅ 𝜔 1𝑜 N)) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
285, 6, 27mpanr12 415 . . . . . . . 8 (((∅ ·𝑜 w) 𝜔 (1𝑜 ·𝑜 v) N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
2926, 20, 28syl2an 273 . . . . . . 7 ((w 𝜔 v N) → ([⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 w) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 v) ·𝑜 ∅)))
3025, 29mpbird 156 . . . . . 6 ((w 𝜔 v N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3130, 2syl6eqr 2087 . . . . 5 ((w 𝜔 v N) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
3231adantr 261 . . . 4 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·𝑜 w), (1𝑜 ·𝑜 v)⟩] ~Q0 = 0Q0)
339, 32eqtrd 2069 . . 3 (((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
3433exlimivv 1773 . 2 (wv((w 𝜔 v N) A = [⟨w, v⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
351, 34syl 14 1 (A Q0 → (0Q0 ·Q0 A) = 0Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  c0 3218  cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271  0Q0c0q0 6272   ·Q0 cmq0 6274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-mq0 6410
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6482
  Copyright terms: Public domain W3C validator