Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m GIF version

Theorem nq02m 6563
 Description: Multiply a non-negative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (𝐴Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6540 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2 2onn 6094 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
3 1pi 6413 . . . . . . 7 1𝑜N
4 mulnnnq0 6548 . . . . . . 7 (((2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 412 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
6 nn2m 6099 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 +𝑜 𝑧))
76adantr 261 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (2𝑜 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 +𝑜 𝑧))
8 pinn 6407 . . . . . . . . . 10 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
9 1onn 6093 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ ω
10 nnmcom 6068 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 1𝑜))
119, 10mpan 400 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 1𝑜))
12 nnm1 6097 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
1311, 12eqtrd 2072 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑤N → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
1514adantl 262 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
167, 15opeq12d 3557 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩)
1716eceq1d 6142 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18 nnanq0 6556 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19183anidm12 1192 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2076 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2120adantr 261 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5530 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2054 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2625adantl 262 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 156 . . 3 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
2827exlimivv 1776 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
291, 28syl 14 1 (𝐴Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1𝑜c1o 5994  2𝑜c2o 5995   +𝑜 coa 5998   ·𝑜 comu 5999  [cec 6104  Ncnpi 6370   ~Q0 ceq0 6384  Q0cnq0 6385   +Q0 cplq0 6387   ·Q0 cmq0 6388 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525  df-mq0 6526 This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6600
 Copyright terms: Public domain W3C validator