Theorem nq02m 6563

Description: Multiply a non-negative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 6540	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2		2onn 6094	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
3		1pi 6413	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ N
4		mulnnnq0 6548	. . . . . . 7 ⊢ (((2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
6		nn2m 6099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 +𝑜 𝑧))
7	6	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (2𝑜 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 +𝑜 𝑧))
8		pinn 6407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
9		1onn 6093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
10		nnmcom 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 1𝑜))
11	9, 10	mpan 400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 1𝑜))
12		nnm1 6097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
13	11, 12	eqtrd 2072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
15	14	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
16	7, 15	opeq12d 3557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩)
17	16	eceq1d 6142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18		nnanq0 6556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19	18	3anidm12 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2076	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
21	20	adantr 261	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22		oveq2 5520	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 5530	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
25	22, 24	eqeq12d 2054	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
26	25	adantl 262	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
27	21, 26	mpbird 156	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
28	27	exlimivv 1776	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
29	1, 28	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994  2_𝑜c2o 5995   +_𝑜 coa 5998   ·_𝑜 comu 5999  [cec 6104  Ncnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384  Q₀cnq0 6385   +_Q0 cplq0 6387   ·_Q0 cmq0 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525  df-mq0 6526

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6600