ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m Structured version   GIF version

Theorem nq02m 6447
Description: Multiply a non-negative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (A Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6424 . 2 (A Q0zw((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
2 2onn 6030 . . . . . . 7 2𝑜 𝜔
3 1pi 6299 . . . . . . 7 1𝑜 N
4 mulnnnq0 6432 . . . . . . 7 (((2𝑜 𝜔 1𝑜 N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 412 . . . . . 6 ((z 𝜔 w N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
6 nn2m 6035 . . . . . . . . 9 (z 𝜔 → (2𝑜 ·𝑜 z) = (z +𝑜 z))
76adantr 261 . . . . . . . 8 ((z 𝜔 w N) → (2𝑜 ·𝑜 z) = (z +𝑜 z))
8 pinn 6293 . . . . . . . . . 10 (w Nw 𝜔)
9 1onn 6029 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 𝜔
10 nnmcom 6007 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 𝜔 w 𝜔) → (1𝑜 ·𝑜 w) = (w ·𝑜 1𝑜))
119, 10mpan 400 . . . . . . . . . . 11 (w 𝜔 → (1𝑜 ·𝑜 w) = (w ·𝑜 1𝑜))
12 nnm1 6033 . . . . . . . . . . 11 (w 𝜔 → (w ·𝑜 1𝑜) = w)
1311, 12eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 (w 𝜔 → (1𝑜 ·𝑜 w) = w)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (w N → (1𝑜 ·𝑜 w) = w)
1514adantl 262 . . . . . . . 8 ((z 𝜔 w N) → (1𝑜 ·𝑜 w) = w)
167, 15opeq12d 3548 . . . . . . 7 ((z 𝜔 w N) → ⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩ = ⟨(z +𝑜 z), w⟩)
1716eceq1d 6078 . . . . . 6 ((z 𝜔 w N) → [⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨(z +𝑜 z), w⟩] ~Q0 )
18 nnanq0 6440 . . . . . . 7 ((z 𝜔 z 𝜔 w N) → [⟨(z +𝑜 z), w⟩] ~Q0 = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
19183anidm12 1191 . . . . . 6 ((z 𝜔 w N) → [⟨(z +𝑜 z), w⟩] ~Q0 = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2073 . . . . 5 ((z 𝜔 w N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
2120adantr 261 . . . 4 (((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
22 oveq2 5463 . . . . . 6 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0A = [⟨z, w⟩] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5473 . . . . . 6 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 → (A +Q0 A) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2051 . . . . 5 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
2625adantl 262 . . . 4 (((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 156 . . 3 (((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))
2827exlimivv 1773 . 2 (zw((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))
291, 28syl 14 1 (A Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  2𝑜c2o 5934   +𝑜 coa 5937   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409  df-mq0 6410
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator