ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m Structured version   GIF version

Theorem nq02m 6319
Description: Multiply a non-negative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (A Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6297 . 2 (A Q0zw((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
2 2onn 6005 . . . . . . 7 2𝑜 𝜔
3 1pi 6175 . . . . . . 7 1𝑜 N
4 mulnnnq0 6305 . . . . . . 7 (((2𝑜 𝜔 1𝑜 N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 414 . . . . . 6 ((z 𝜔 w N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
6 nn2m 6010 . . . . . . . . 9 (z 𝜔 → (2𝑜 ·𝑜 z) = (z +𝑜 z))
76adantr 261 . . . . . . . 8 ((z 𝜔 w N) → (2𝑜 ·𝑜 z) = (z +𝑜 z))
8 pinn 6169 . . . . . . . . . 10 (w Nw 𝜔)
9 1onn 6004 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 𝜔
10 nnmcom 5983 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 𝜔 w 𝜔) → (1𝑜 ·𝑜 w) = (w ·𝑜 1𝑜))
119, 10mpan 402 . . . . . . . . . . 11 (w 𝜔 → (1𝑜 ·𝑜 w) = (w ·𝑜 1𝑜))
12 nnm1 6008 . . . . . . . . . . 11 (w 𝜔 → (w ·𝑜 1𝑜) = w)
1311, 12eqtrd 2054 . . . . . . . . . 10 (w 𝜔 → (1𝑜 ·𝑜 w) = w)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (w N → (1𝑜 ·𝑜 w) = w)
1514adantl 262 . . . . . . . 8 ((z 𝜔 w N) → (1𝑜 ·𝑜 w) = w)
167, 15opeq12d 3531 . . . . . . 7 ((z 𝜔 w N) → ⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩ = ⟨(z +𝑜 z), w⟩)
1716eceq1d 6053 . . . . . 6 ((z 𝜔 w N) → [⟨(2𝑜 ·𝑜 z), (1𝑜 ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨(z +𝑜 z), w⟩] ~Q0 )
18 nnanq0 6313 . . . . . . 7 ((z 𝜔 z 𝜔 w N) → [⟨(z +𝑜 z), w⟩] ~Q0 = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
19183anidm12 1178 . . . . . 6 ((z 𝜔 w N) → [⟨(z +𝑜 z), w⟩] ~Q0 = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2058 . . . . 5 ((z 𝜔 w N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
2120adantr 261 . . . 4 (((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
22 oveq2 5444 . . . . . 6 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0A = [⟨z, w⟩] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5454 . . . . . 6 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 → (A +Q0 A) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2036 . . . . 5 (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
2625adantl 262 . . . 4 (((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 156 . . 3 (((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))
2827exlimivv 1758 . 2 (zw((z 𝜔 w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))
291, 28syl 14 1 (A Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (A +Q0 A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cop 3353  𝜔com 4240  (class class class)co 5436  1𝑜c1o 5909  2𝑜c2o 5910   +𝑜 coa 5913   ·𝑜 comu 5914  [cec 6015  Ncnpi 6130   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145   +Q0 cplq0 6147   ·Q0 cmq0 6148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-2o 5917  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-plq0 6282  df-mq0 6283
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6356
  Copyright terms: Public domain W3C validator