Theorem ordgt0ge1 5957

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ 1𝑜 ⊆ A))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4095	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 4197	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord A) → (∅ ∈ A ↔ suc ∅ ⊆ A))
3	1, 2	mpan 400	. 2 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ suc ∅ ⊆ A))
4		df-1o 5940	. . 3 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
5	4	sseq1i 2963	. 2 ⊢ (1𝑜 ⊆ A ↔ suc ∅ ⊆ A)
6	3, 5	syl6bbr 187	1 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ 1𝑜 ⊆ A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218  Ord word 4065  Oncon0 4066  suc csuc 4068  1_𝑜c1o 5933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-1o 5940

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  5958  archnqq  6400