Theorem ordgt0ge1 5898

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ 1𝑜 ⊆ A))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4052	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 4154	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord A) → (∅ ∈ A ↔ suc ∅ ⊆ A))
3	1, 2	mpan 402	. 2 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ suc ∅ ⊆ A))
4		df-1o 5881	. . 3 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
5	4	sseq1i 2947	. 2 ⊢ (1𝑜 ⊆ A ↔ suc ∅ ⊆ A)
6	3, 5	syl6bbr 187	1 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ 1𝑜 ⊆ A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∈ wcel 1375   ⊆ wss 2895  ∅c0 3202  Ord word 4023  Oncon0 4024  suc csuc 4026  1_𝑜c1o 5874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1315  ax-7 1316  ax-gen 1317  ax-ie1 1362  ax-ie2 1363  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2004  ax-nul 3835

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1329  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2287  df-rex 2288  df-v 2535  df-dif 2898  df-un 2900  df-in 2902  df-ss 2909  df-nul 3203  df-pw 3313  df-sn 3333  df-uni 3533  df-tr 3807  df-iord 4027  df-on 4028  df-suc 4031  df-1o 5881

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  5899