Theorem ordgt0ge1 5928

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ 1𝑜 ⊆ A))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4076	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 4179	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord A) → (∅ ∈ A ↔ suc ∅ ⊆ A))
3	1, 2	mpan 402	. 2 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ suc ∅ ⊆ A))
4		df-1o 5911	. . 3 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
5	4	sseq1i 2945	. 2 ⊢ (1𝑜 ⊆ A ↔ suc ∅ ⊆ A)
6	3, 5	syl6bbr 187	1 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ 1𝑜 ⊆ A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∈ wcel 1375   ⊆ wss 2893  ∅c0 3200  Ord word 4046  Oncon0 4047  suc csuc 4049  1_𝑜c1o 5904

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1364  ax-ie2 1365  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2005  ax-nul 3856

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1629  df-clab 2010  df-cleq 2016  df-clel 2019  df-nfc 2150  df-ral 2288  df-rex 2289  df-v 2536  df-dif 2896  df-un 2898  df-in 2900  df-ss 2907  df-nul 3201  df-pw 3335  df-sn 3355  df-uni 3554  df-tr 3828  df-iord 4050  df-on 4052  df-suc 4055  df-1o 5911

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  5929  archnqq  6261