Theorem 0elon 4129

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4128	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 3884	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4111	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 134	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  ∅c0 3224  Ord word 4099  Oncon0 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105

This theorem is referenced by:  inton  4130  onn0  4137  onm  4138  limon  4239  ordtriexmid  4247  ordtri2orexmid  4248  onsucsssucexmid  4252  onsucelsucexmid  4255  ordsoexmid  4286  ordpwsucexmid  4294  ordtri2or2exmid  4296  tfr0  5937  1on  6008  ordgt0ge1  6018  omv  6035  oa0  6037  om0  6038  oei0  6039  omcl  6041  omv2  6045  oaword1  6050  nna0r  6057  nnm0r  6058  card0  6368