ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0ex Structured version   GIF version

Theorem 0ex 3875
Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 3874. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
0ex V

Proof of Theorem 0ex
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-nul 3874 . . 3 xy ¬ y x
2 eq0 3233 . . . 4 (x = ∅ ↔ y ¬ y x)
32exbii 1493 . . 3 (x x = ∅ ↔ xy ¬ y x)
41, 3mpbir 134 . 2 x x = ∅
54issetri 2558 1 V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  c0 3218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-nul 3219
This theorem is referenced by:  0elpw  3908  0nep0  3909  iin0r  3913  intv  3914  snexprc  3929  p0ex  3930  0elon  4095  onm  4104  ordtriexmidlem2  4209  ordtriexmid  4210  ordtri2orexmid  4211  onsucsssucexmid  4212  onsucelsucexmidlem1  4213  onsucelsucexmid  4215  regexmidlem1  4218  ordsoexmid  4240  ordpwsucexmid  4246  peano1  4260  finds  4266  finds2  4267  0elnn  4283  opthprc  4334  nfunv  4876  fun0  4900  acexmidlema  5446  acexmidlemb  5447  acexmidlemab  5449  ovprc  5482  1st0  5713  2nd0  5714  brtpos0  5808  reldmtpos  5809  tfr0  5878  rdg0  5914  frec0g  5922  1n0  5955  el1o  5959  fnom  5969  omexg  5970  om0  5977  nnsucsssuc  6010  en0  6211  ensn1  6212  en1  6215  2dom  6221  xp1en  6233  endisj  6234  ssfiexmid  6254  indpi  6326  frecfzennn  8864  bj-d0clsepcl  9360  bj-indint  9366  bj-bdfindis  9381  bj-inf2vnlem1  9400
  Copyright terms: Public domain W3C validator