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Theorem nnsucsssuc 6003
Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4199, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4211. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnsucsssuc ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB ↔ suc A ⊆ suc B))

Proof of Theorem nnsucsssuc
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 2960 . . . . . 6 (x = A → (xBAB))
2 suceq 4104 . . . . . . 7 (x = A → suc x = suc A)
32sseq1d 2966 . . . . . 6 (x = A → (suc x ⊆ suc B ↔ suc A ⊆ suc B))
41, 3imbi12d 223 . . . . 5 (x = A → ((xB → suc x ⊆ suc B) ↔ (AB → suc A ⊆ suc B)))
54imbi2d 219 . . . 4 (x = A → ((B 𝜔 → (xB → suc x ⊆ suc B)) ↔ (B 𝜔 → (AB → suc A ⊆ suc B))))
6 sseq1 2960 . . . . . 6 (x = ∅ → (xB ↔ ∅ ⊆ B))
7 suceq 4104 . . . . . . 7 (x = ∅ → suc x = suc ∅)
87sseq1d 2966 . . . . . 6 (x = ∅ → (suc x ⊆ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
96, 8imbi12d 223 . . . . 5 (x = ∅ → ((xB → suc x ⊆ suc B) ↔ (∅ ⊆ B → suc ∅ ⊆ suc B)))
10 sseq1 2960 . . . . . 6 (x = y → (xByB))
11 suceq 4104 . . . . . . 7 (x = y → suc x = suc y)
1211sseq1d 2966 . . . . . 6 (x = y → (suc x ⊆ suc B ↔ suc y ⊆ suc B))
1310, 12imbi12d 223 . . . . 5 (x = y → ((xB → suc x ⊆ suc B) ↔ (yB → suc y ⊆ suc B)))
14 sseq1 2960 . . . . . 6 (x = suc y → (xB ↔ suc yB))
15 suceq 4104 . . . . . . 7 (x = suc y → suc x = suc suc y)
1615sseq1d 2966 . . . . . 6 (x = suc y → (suc x ⊆ suc B ↔ suc suc y ⊆ suc B))
1714, 16imbi12d 223 . . . . 5 (x = suc y → ((xB → suc x ⊆ suc B) ↔ (suc yB → suc suc y ⊆ suc B)))
18 peano3 4261 . . . . . . . . 9 (B 𝜔 → suc B ≠ ∅)
1918neneqd 2221 . . . . . . . 8 (B 𝜔 → ¬ suc B = ∅)
20 peano2 4260 . . . . . . . . . 10 (B 𝜔 → suc B 𝜔)
21 0elnn 4282 . . . . . . . . . 10 (suc B 𝜔 → (suc B = ∅ suc B))
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (B 𝜔 → (suc B = ∅ suc B))
2322ord 642 . . . . . . . 8 (B 𝜔 → (¬ suc B = ∅ → ∅ suc B))
2419, 23mpd 13 . . . . . . 7 (B 𝜔 → ∅ suc B)
25 nnord 4276 . . . . . . . 8 (B 𝜔 → Ord B)
26 ordsucim 4191 . . . . . . . 8 (Ord B → Ord suc B)
27 0ex 3874 . . . . . . . . 9 V
28 ordelsuc 4196 . . . . . . . . 9 ((∅ V Ord suc B) → (∅ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
2927, 28mpan 400 . . . . . . . 8 (Ord suc B → (∅ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
3025, 26, 293syl 17 . . . . . . 7 (B 𝜔 → (∅ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
3124, 30mpbid 135 . . . . . 6 (B 𝜔 → suc ∅ ⊆ suc B)
3231a1d 22 . . . . 5 (B 𝜔 → (∅ ⊆ B → suc ∅ ⊆ suc B))
33 simp3 905 . . . . . . . . . 10 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → suc yB)
34 simp1l 927 . . . . . . . . . . 11 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → y 𝜔)
35 simp1r 928 . . . . . . . . . . . 12 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → B 𝜔)
3635, 25syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → Ord B)
37 ordelsuc 4196 . . . . . . . . . . 11 ((y 𝜔 Ord B) → (y B ↔ suc yB))
3834, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → (y B ↔ suc yB))
3933, 38mpbird 156 . . . . . . . . 9 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → y B)
40 nnsucelsuc 6002 . . . . . . . . . 10 (B 𝜔 → (y B ↔ suc y suc B))
4135, 40syl 14 . . . . . . . . 9 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → (y B ↔ suc y suc B))
4239, 41mpbid 135 . . . . . . . 8 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → suc y suc B)
43 peano2 4260 . . . . . . . . . 10 (y 𝜔 → suc y 𝜔)
4434, 43syl 14 . . . . . . . . 9 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → suc y 𝜔)
4536, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → Ord suc B)
46 ordelsuc 4196 . . . . . . . . 9 ((suc y 𝜔 Ord suc B) → (suc y suc B ↔ suc suc y ⊆ suc B))
4744, 45, 46syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → (suc y suc B ↔ suc suc y ⊆ suc B))
4842, 47mpbid 135 . . . . . . 7 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B) suc yB) → suc suc y ⊆ suc B)
49483expia 1105 . . . . . 6 (((y 𝜔 B 𝜔) (yB → suc y ⊆ suc B)) → (suc yB → suc suc y ⊆ suc B))
5049exp31 346 . . . . 5 (y 𝜔 → (B 𝜔 → ((yB → suc y ⊆ suc B) → (suc yB → suc suc y ⊆ suc B))))
519, 13, 17, 32, 50finds2 4266 . . . 4 (x 𝜔 → (B 𝜔 → (xB → suc x ⊆ suc B)))
525, 51vtoclga 2613 . . 3 (A 𝜔 → (B 𝜔 → (AB → suc A ⊆ suc B)))
5352imp 115 . 2 ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB → suc A ⊆ suc B))
54 nnon 4274 . . 3 (A 𝜔 → A On)
55 onsucsssucr 4199 . . 3 ((A On Ord B) → (suc A ⊆ suc BAB))
5654, 25, 55syl2an 273 . 2 ((A 𝜔 B 𝜔) → (suc A ⊆ suc BAB))
5753, 56impbid 120 1 ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB ↔ suc A ⊆ suc B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911  c0 3218  Ord word 4064  Oncon0 4065  suc csuc 4067  𝜔com 4255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-uni 3571  df-int 3606  df-tr 3845  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256
This theorem is referenced by:  nnaword  6013
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