ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfzennn Structured version   GIF version

Theorem frecfzennn 8864
Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See frec2uz0d 8846 for a description of the hypothesis.) (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfzennn.1 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
frecfzennn (𝑁 0 → (1...𝑁) ≈ (𝐺𝑁))

Proof of Theorem frecfzennn
Dummy variables 𝑚 𝑛 z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . 3 (𝑛 = 0 → (1...𝑛) = (1...0))
2 fveq2 5121 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
31, 2breq12d 3768 . 2 (𝑛 = 0 → ((1...𝑛) ≈ (𝐺𝑛) ↔ (1...0) ≈ (𝐺‘0)))
4 oveq2 5463 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (1...𝑛) = (1...𝑚))
5 fveq2 5121 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑚))
64, 5breq12d 3768 . 2 (𝑛 = 𝑚 → ((1...𝑛) ≈ (𝐺𝑛) ↔ (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)))
7 oveq2 5463 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (1...𝑛) = (1...(𝑚 + 1)))
8 fveq2 5121 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑚 + 1)))
97, 8breq12d 3768 . 2 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((1...𝑛) ≈ (𝐺𝑛) ↔ (1...(𝑚 + 1)) ≈ (𝐺‘(𝑚 + 1))))
10 oveq2 5463 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
11 fveq2 5121 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑁))
1210, 11breq12d 3768 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((1...𝑛) ≈ (𝐺𝑛) ↔ (1...𝑁) ≈ (𝐺𝑁)))
13 0ex 3875 . . . 4 V
1413enref 6181 . . 3 ∅ ≈ ∅
15 fz10 8660 . . 3 (1...0) = ∅
16 0zd 8013 . . . . . . 7 ( ⊤ → 0 ℤ)
17 frecfzennn.1 . . . . . . 7 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)
1816, 17frec2uzf1od 8853 . . . . . 6 ( ⊤ → 𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0))
1918trud 1251 . . . . 5 𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0)
20 peano1 4260 . . . . 5 𝜔
2119, 20pm3.2i 257 . . . 4 (𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0) 𝜔)
2216, 17frec2uz0d 8846 . . . . 5 ( ⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
2322trud 1251 . . . 4 (𝐺‘∅) = 0
24 f1ocnvfv 5362 . . . 4 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0) 𝜔) → ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅))
2521, 23, 24mp2 16 . . 3 (𝐺‘0) = ∅
2614, 15, 253brtr4i 3783 . 2 (1...0) ≈ (𝐺‘0)
27 simpr 103 . . . . 5 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚))
28 peano2nn0 7978 . . . . . . 7 (𝑚 0 → (𝑚 + 1) 0)
29 zex 8010 . . . . . . . . . . . . . . 15 V
3029mptex 5330 . . . . . . . . . . . . . 14 (x ℤ ↦ (x + 1)) V
31 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 z V
3230, 31fvex 5138 . . . . . . . . . . . . 13 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
3332ax-gen 1335 . . . . . . . . . . . 12 z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
34 0z 8012 . . . . . . . . . . . 12 0
35 frecfnom 5925 . . . . . . . . . . . 12 ((z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V 0 ℤ) → frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0) Fn 𝜔)
3633, 34, 35mp2an 402 . . . . . . . . . . 11 frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0) Fn 𝜔
3717fneq1i 4936 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Fn 𝜔 ↔ frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0) Fn 𝜔)
3836, 37mpbir 134 . . . . . . . . . 10 𝐺 Fn 𝜔
39 omex 4259 . . . . . . . . . 10 𝜔 V
40 fnex 5326 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Fn 𝜔 𝜔 V) → 𝐺 V)
4138, 39, 40mp2an 402 . . . . . . . . 9 𝐺 V
4241cnvex 4799 . . . . . . . 8 𝐺 V
43 vex 2554 . . . . . . . 8 𝑚 V
4442, 43fvex 5138 . . . . . . 7 (𝐺𝑚) V
45 en2sn 6226 . . . . . . 7 (((𝑚 + 1) 0 (𝐺𝑚) V) → {(𝑚 + 1)} ≈ {(𝐺𝑚)})
4628, 44, 45sylancl 392 . . . . . 6 (𝑚 0 → {(𝑚 + 1)} ≈ {(𝐺𝑚)})
4746adantr 261 . . . . 5 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → {(𝑚 + 1)} ≈ {(𝐺𝑚)})
48 fzp1disj 8692 . . . . . 6 ((1...𝑚) ∩ {(𝑚 + 1)}) = ∅
4948a1i 9 . . . . 5 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → ((1...𝑚) ∩ {(𝑚 + 1)}) = ∅)
50 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0) 𝑚 (ℤ‘0)) → (𝐺𝑚) 𝜔)
5119, 50mpan 400 . . . . . . . . 9 (𝑚 (ℤ‘0) → (𝐺𝑚) 𝜔)
52 nn0uz 8263 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
5351, 52eleq2s 2129 . . . . . . . 8 (𝑚 0 → (𝐺𝑚) 𝜔)
54 nnord 4277 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑚) 𝜔 → Ord (𝐺𝑚))
55 ordirr 4225 . . . . . . . 8 (Ord (𝐺𝑚) → ¬ (𝐺𝑚) (𝐺𝑚))
5653, 54, 553syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 0 → ¬ (𝐺𝑚) (𝐺𝑚))
5756adantr 261 . . . . . 6 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → ¬ (𝐺𝑚) (𝐺𝑚))
58 disjsn 3423 . . . . . 6 (((𝐺𝑚) ∩ {(𝐺𝑚)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐺𝑚) (𝐺𝑚))
5957, 58sylibr 137 . . . . 5 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → ((𝐺𝑚) ∩ {(𝐺𝑚)}) = ∅)
60 unen 6229 . . . . 5 ((((1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚) {(𝑚 + 1)} ≈ {(𝐺𝑚)}) (((1...𝑚) ∩ {(𝑚 + 1)}) = ∅ ((𝐺𝑚) ∩ {(𝐺𝑚)}) = ∅)) → ((1...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}) ≈ ((𝐺𝑚) ∪ {(𝐺𝑚)}))
6127, 47, 49, 59, 60syl22anc 1135 . . . 4 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → ((1...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}) ≈ ((𝐺𝑚) ∪ {(𝐺𝑚)}))
62 1z 8027 . . . . . 6 1
63 1m1e0 7744 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
6463fveq2i 5124 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
6552, 64eqtr4i 2060 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 − 1))
6665eleq2i 2101 . . . . . . 7 (𝑚 0𝑚 (ℤ‘(1 − 1)))
6766biimpi 113 . . . . . 6 (𝑚 0𝑚 (ℤ‘(1 − 1)))
68 fzsuc2 8691 . . . . . 6 ((1 𝑚 (ℤ‘(1 − 1))) → (1...(𝑚 + 1)) = ((1...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
6962, 67, 68sylancr 393 . . . . 5 (𝑚 0 → (1...(𝑚 + 1)) = ((1...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
7069adantr 261 . . . 4 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → (1...(𝑚 + 1)) = ((1...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
71 peano2 4261 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑚) 𝜔 → suc (𝐺𝑚) 𝜔)
7253, 71syl 14 . . . . . . . 8 (𝑚 0 → suc (𝐺𝑚) 𝜔)
7372, 19jctil 295 . . . . . . 7 (𝑚 0 → (𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0) suc (𝐺𝑚) 𝜔))
74 0zd 8013 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑚) 𝜔 → 0 ℤ)
75 id 19 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑚) 𝜔 → (𝐺𝑚) 𝜔)
7674, 17, 75frec2uzsucd 8848 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑚) 𝜔 → (𝐺‘suc (𝐺𝑚)) = ((𝐺‘(𝐺𝑚)) + 1))
7753, 76syl 14 . . . . . . . 8 (𝑚 0 → (𝐺‘suc (𝐺𝑚)) = ((𝐺‘(𝐺𝑚)) + 1))
7852eleq2i 2101 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 0𝑚 (ℤ‘0))
7978biimpi 113 . . . . . . . . . 10 (𝑚 0𝑚 (ℤ‘0))
80 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0) 𝑚 (ℤ‘0)) → (𝐺‘(𝐺𝑚)) = 𝑚)
8119, 79, 80sylancr 393 . . . . . . . . 9 (𝑚 0 → (𝐺‘(𝐺𝑚)) = 𝑚)
8281oveq1d 5470 . . . . . . . 8 (𝑚 0 → ((𝐺‘(𝐺𝑚)) + 1) = (𝑚 + 1))
8377, 82eqtrd 2069 . . . . . . 7 (𝑚 0 → (𝐺‘suc (𝐺𝑚)) = (𝑚 + 1))
84 f1ocnvfv 5362 . . . . . . 7 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ‘0) suc (𝐺𝑚) 𝜔) → ((𝐺‘suc (𝐺𝑚)) = (𝑚 + 1) → (𝐺‘(𝑚 + 1)) = suc (𝐺𝑚)))
8573, 83, 84sylc 56 . . . . . 6 (𝑚 0 → (𝐺‘(𝑚 + 1)) = suc (𝐺𝑚))
8685adantr 261 . . . . 5 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → (𝐺‘(𝑚 + 1)) = suc (𝐺𝑚))
87 df-suc 4074 . . . . 5 suc (𝐺𝑚) = ((𝐺𝑚) ∪ {(𝐺𝑚)})
8886, 87syl6eq 2085 . . . 4 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → (𝐺‘(𝑚 + 1)) = ((𝐺𝑚) ∪ {(𝐺𝑚)}))
8961, 70, 883brtr4d 3785 . . 3 ((𝑚 0 (1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚)) → (1...(𝑚 + 1)) ≈ (𝐺‘(𝑚 + 1)))
9089ex 108 . 2 (𝑚 0 → ((1...𝑚) ≈ (𝐺𝑚) → (1...(𝑚 + 1)) ≈ (𝐺‘(𝑚 + 1))))
913, 6, 9, 12, 26, 90nn0ind 8108 1 (𝑁 0 → (1...𝑁) ≈ (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242  wtru 1243   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  cin 2910  c0 3218  {csn 3367   class class class wbr 3755  cmpt 3809  Ord word 4065  suc csuc 4068  𝜔com 4256  ccnv 4287   Fn wfn 4840  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  cen 6155  0cc0 6691  1c1 6692   + caddc 6694  cmin 6959  0cn0 7937  cz 8001  cuz 8229  ...cfz 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-en 6158  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625
This theorem is referenced by:  frecfzen2  8865
  Copyright terms: Public domain W3C validator