Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldmtpos GIF version

Theorem reldmtpos 5868
 Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3884 . . . . 5 ∅ ∈ V
21eldm 4532 . . . 4 (∅ ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦𝐹𝑦)
3 vex 2560 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
4 brtpos0 5867 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ V → (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦))
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦)
6 0nelxp 4372 . . . . . . . 8 ¬ ∅ ∈ (V × V)
7 df-rel 4352 . . . . . . . . 9 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8 ssel 2939 . . . . . . . . 9 (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
97, 8sylbi 114 . . . . . . . 8 (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
106, 9mtoi 590 . . . . . . 7 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
111, 3breldm 4539 . . . . . . 7 (∅tpos 𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
1210, 11nsyl3 556 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
135, 12sylbir 125 . . . . 5 (∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1413exlimiv 1489 . . . 4 (∃𝑦𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
152, 14sylbi 114 . . 3 (∅ ∈ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1615con2i 557 . 2 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
17 vex 2560 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1817eldm 4532 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦)
19 relcnv 4703 . . . . . . . . . . 11 Rel dom 𝐹
20 df-rel 4352 . . . . . . . . . . 11 (Rel dom 𝐹dom 𝐹 ⊆ (V × V))
2119, 20mpbi 133 . . . . . . . . . 10 dom 𝐹 ⊆ (V × V)
2221sseli 2941 . . . . . . . . 9 (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V))
2322a1i 9 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
24 elsni 3393 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
2524breq1d 3774 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅tpos 𝐹𝑦))
261, 3breldm 4539 . . . . . . . . . . . . 13 (∅𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom 𝐹)
2726pm2.24d 552 . . . . . . . . . . . 12 (∅𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
285, 27sylbi 114 . . . . . . . . . . 11 (∅tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
2925, 28syl6bi 152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V))))
3029com3l 75 . . . . . . . . 9 (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V))))
3130impcom 116 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V)))
32 brtpos2 5866 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ V → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑥}𝐹𝑦)))
333, 32ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑥}𝐹𝑦))
3433simplbi 259 . . . . . . . . . 10 (𝑥tpos 𝐹𝑦𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}))
35 elun 3084 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ {∅}))
3634, 35sylib 127 . . . . . . . . 9 (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ {∅}))
3736adantl 262 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ {∅}))
3823, 31, 37mpjaod 638 . . . . . . 7 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ (V × V))
3938ex 108 . . . . . 6 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥tpos 𝐹𝑦𝑥 ∈ (V × V)))
4039exlimdv 1700 . . . . 5 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦𝑥 ∈ (V × V)))
4118, 40syl5bi 141 . . . 4 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
4241ssrdv 2951 . . 3 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
4342, 7sylibr 137 . 2 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
4416, 43impbii 117 1 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917  ∅c0 3224  {csn 3375  ∪ cuni 3580   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ◡ccnv 4344  dom cdm 4345  Rel wrel 4350  tpos ctpos 5859 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860 This theorem is referenced by:  dmtpos  5871
 Copyright terms: Public domain W3C validator