ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldmtpos Structured version   GIF version

Theorem reldmtpos 5809
Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . 5 V
21eldm 4475 . . . 4 (∅ dom 𝐹y𝐹y)
3 vex 2554 . . . . . . 7 y V
4 brtpos0 5808 . . . . . . 7 (y V → (∅tpos 𝐹y ↔ ∅𝐹y))
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹y ↔ ∅𝐹y)
6 0nelxp 4315 . . . . . . . 8 ¬ ∅ (V × V)
7 df-rel 4295 . . . . . . . . 9 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8 ssel 2933 . . . . . . . . 9 (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ dom tpos 𝐹 → ∅ (V × V)))
97, 8sylbi 114 . . . . . . . 8 (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ dom tpos 𝐹 → ∅ (V × V)))
106, 9mtoi 589 . . . . . . 7 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ dom tpos 𝐹)
111, 3breldm 4482 . . . . . . 7 (∅tpos 𝐹y → ∅ dom tpos 𝐹)
1210, 11nsyl3 556 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹y → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
135, 12sylbir 125 . . . . 5 (∅𝐹y → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1413exlimiv 1486 . . . 4 (y𝐹y → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
152, 14sylbi 114 . . 3 (∅ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1615con2i 557 . 2 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ dom 𝐹)
17 vex 2554 . . . . . 6 x V
1817eldm 4475 . . . . 5 (x dom tpos 𝐹y xtpos 𝐹y)
19 relcnv 4646 . . . . . . . . . . 11 Rel dom 𝐹
20 df-rel 4295 . . . . . . . . . . 11 (Rel dom 𝐹dom 𝐹 ⊆ (V × V))
2119, 20mpbi 133 . . . . . . . . . 10 dom 𝐹 ⊆ (V × V)
2221sseli 2935 . . . . . . . . 9 (x dom 𝐹x (V × V))
2322a1i 9 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → (x dom 𝐹x (V × V)))
24 elsni 3391 . . . . . . . . . . . 12 (x {∅} → x = ∅)
2524breq1d 3765 . . . . . . . . . . 11 (x {∅} → (xtpos 𝐹y ↔ ∅tpos 𝐹y))
261, 3breldm 4482 . . . . . . . . . . . . 13 (∅𝐹y → ∅ dom 𝐹)
2726pm2.24d 552 . . . . . . . . . . . 12 (∅𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹x (V × V)))
285, 27sylbi 114 . . . . . . . . . . 11 (∅tpos 𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹x (V × V)))
2925, 28syl6bi 152 . . . . . . . . . 10 (x {∅} → (xtpos 𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹x (V × V))))
3029com3l 75 . . . . . . . . 9 (xtpos 𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹 → (x {∅} → x (V × V))))
3130impcom 116 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → (x {∅} → x (V × V)))
32 brtpos2 5807 . . . . . . . . . . . 12 (y V → (xtpos 𝐹y ↔ (x (dom 𝐹 ∪ {∅}) {x}𝐹y)))
333, 32ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (xtpos 𝐹y ↔ (x (dom 𝐹 ∪ {∅}) {x}𝐹y))
3433simplbi 259 . . . . . . . . . 10 (xtpos 𝐹yx (dom 𝐹 ∪ {∅}))
35 elun 3078 . . . . . . . . . 10 (x (dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (x dom 𝐹 x {∅}))
3634, 35sylib 127 . . . . . . . . 9 (xtpos 𝐹y → (x dom 𝐹 x {∅}))
3736adantl 262 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → (x dom 𝐹 x {∅}))
3823, 31, 37mpjaod 637 . . . . . . 7 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → x (V × V))
3938ex 108 . . . . . 6 (¬ ∅ dom 𝐹 → (xtpos 𝐹yx (V × V)))
4039exlimdv 1697 . . . . 5 (¬ ∅ dom 𝐹 → (y xtpos 𝐹yx (V × V)))
4118, 40syl5bi 141 . . . 4 (¬ ∅ dom 𝐹 → (x dom tpos 𝐹x (V × V)))
4241ssrdv 2945 . . 3 (¬ ∅ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
4342, 7sylibr 137 . 2 (¬ ∅ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
4416, 43impbii 117 1 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ dom 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  wss 2911  c0 3218  {csn 3367   cuni 3571   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ccnv 4287  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  dmtpos  5812
  Copyright terms: Public domain W3C validator