Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldmtpos Structured version   GIF version

Theorem reldmtpos 5786
 Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3854 . . . . 5 V
21eldm 4455 . . . 4 (∅ dom 𝐹y𝐹y)
3 vex 2534 . . . . . . 7 y V
4 brtpos0 5785 . . . . . . 7 (y V → (∅tpos 𝐹y ↔ ∅𝐹y))
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹y ↔ ∅𝐹y)
6 0nelxp 4295 . . . . . . . 8 ¬ ∅ (V × V)
7 df-rel 4275 . . . . . . . . 9 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8 ssel 2912 . . . . . . . . 9 (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ dom tpos 𝐹 → ∅ (V × V)))
97, 8sylbi 114 . . . . . . . 8 (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ dom tpos 𝐹 → ∅ (V × V)))
106, 9mtoi 577 . . . . . . 7 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ dom tpos 𝐹)
111, 3breldm 4462 . . . . . . 7 (∅tpos 𝐹y → ∅ dom tpos 𝐹)
1210, 11nsyl3 544 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹y → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
135, 12sylbir 125 . . . . 5 (∅𝐹y → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1413exlimiv 1467 . . . 4 (y𝐹y → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
152, 14sylbi 114 . . 3 (∅ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1615con2i 545 . 2 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ dom 𝐹)
17 vex 2534 . . . . . 6 x V
1817eldm 4455 . . . . 5 (x dom tpos 𝐹y xtpos 𝐹y)
19 relcnv 4626 . . . . . . . . . . 11 Rel dom 𝐹
20 df-rel 4275 . . . . . . . . . . 11 (Rel dom 𝐹dom 𝐹 ⊆ (V × V))
2119, 20mpbi 133 . . . . . . . . . 10 dom 𝐹 ⊆ (V × V)
2221sseli 2914 . . . . . . . . 9 (x dom 𝐹x (V × V))
2322a1i 9 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → (x dom 𝐹x (V × V)))
24 elsni 3370 . . . . . . . . . . . 12 (x {∅} → x = ∅)
2524breq1d 3744 . . . . . . . . . . 11 (x {∅} → (xtpos 𝐹y ↔ ∅tpos 𝐹y))
261, 3breldm 4462 . . . . . . . . . . . . 13 (∅𝐹y → ∅ dom 𝐹)
2726pm2.24d 540 . . . . . . . . . . . 12 (∅𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹x (V × V)))
285, 27sylbi 114 . . . . . . . . . . 11 (∅tpos 𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹x (V × V)))
2925, 28syl6bi 152 . . . . . . . . . 10 (x {∅} → (xtpos 𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹x (V × V))))
3029com3l 75 . . . . . . . . 9 (xtpos 𝐹y → (¬ ∅ dom 𝐹 → (x {∅} → x (V × V))))
3130impcom 116 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → (x {∅} → x (V × V)))
32 brtpos2 5784 . . . . . . . . . . . 12 (y V → (xtpos 𝐹y ↔ (x (dom 𝐹 ∪ {∅}) {x}𝐹y)))
333, 32ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (xtpos 𝐹y ↔ (x (dom 𝐹 ∪ {∅}) {x}𝐹y))
3433simplbi 259 . . . . . . . . . 10 (xtpos 𝐹yx (dom 𝐹 ∪ {∅}))
35 elun 3057 . . . . . . . . . 10 (x (dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (x dom 𝐹 x {∅}))
3634, 35sylib 127 . . . . . . . . 9 (xtpos 𝐹y → (x dom 𝐹 x {∅}))
3736adantl 262 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → (x dom 𝐹 x {∅}))
3823, 31, 37mpjaod 625 . . . . . . 7 ((¬ ∅ dom 𝐹 xtpos 𝐹y) → x (V × V))
3938ex 108 . . . . . 6 (¬ ∅ dom 𝐹 → (xtpos 𝐹yx (V × V)))
4039exlimdv 1678 . . . . 5 (¬ ∅ dom 𝐹 → (y xtpos 𝐹yx (V × V)))
4118, 40syl5bi 141 . . . 4 (¬ ∅ dom 𝐹 → (x dom tpos 𝐹x (V × V)))
4241ssrdv 2924 . . 3 (¬ ∅ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
4342, 7sylibr 137 . 2 (¬ ∅ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
4416, 43impbii 117 1 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ dom 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 616  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  Vcvv 2531   ∪ cun 2888   ⊆ wss 2890  ∅c0 3197  {csn 3346  ∪ cuni 3550   class class class wbr 3734   × cxp 4266  ◡ccnv 4267  dom cdm 4268  Rel wrel 4273  tpos ctpos 5777 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833  df-tpos 5778 This theorem is referenced by:  dmtpos  5789
 Copyright terms: Public domain W3C validator