Theorem reldmtpos 5868

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3884	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	eldm 4532	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦∅𝐹𝑦)
3		vex 2560	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		brtpos0 5867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦)
6		0nelxp 4372	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
7		df-rel 4352	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8		ssel 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
9	7, 8	sylbi 114	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
10	6, 9	mtoi 590	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
11	1, 3	breldm 4539	. . . . . . 7 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
12	10, 11	nsyl3 556	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
13	5, 12	sylbir 125	. . . . 5 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
14	13	exlimiv 1489	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
15	2, 14	sylbi 114	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
16	15	con2i 557	. 2 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
17		vex 2560	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm 4532	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦)
19		relcnv 4703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ◡dom 𝐹
20		df-rel 4352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel ◡dom 𝐹 ↔ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V))
21	19, 20	mpbi 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V)
22	21	sseli 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
24		elsni 3393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
25	24	breq1d 3774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅tpos 𝐹𝑦))
26	1, 3	breldm 4539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom 𝐹)
27	26	pm2.24d 552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
28	5, 27	sylbi 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
29	25, 28	syl6bi 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))))
30	29	com3l 75	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V))))
31	30	impcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V)))
32		brtpos2 5866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦)))
33	3, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦))
34	33	simplbi 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}))
35		elun 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
36	34, 35	sylib 127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
37	36	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
38	23, 31, 37	mpjaod 638	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ (V × V))
39	38	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
40	39	exlimdv 1700	. . . . 5 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
41	18, 40	syl5bi 141	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
42	41	ssrdv 2951	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
43	42, 7	sylibr 137	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
44	16, 43	impbii 117	1 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917  ∅c0 3224  {csn 3375  ∪ cuni 3580   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ^◡ccnv 4344  dom cdm 4345  Rel wrel 4350  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by:  dmtpos  5871