ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr0 Structured version   GIF version

Theorem tfr0 5878
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 𝐹 = recs(𝐺)
Assertion
Ref Expression
tfr0 ((𝐺‘∅) 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0
Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . 5 V
2 opexg 3955 . . . . 5 ((∅ V (𝐺‘∅) 𝑉) → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ V)
31, 2mpan 400 . . . 4 ((𝐺‘∅) 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ V)
4 snidg 3392 . . . 4 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ V → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩})
53, 4syl 14 . . 3 ((𝐺‘∅) 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩})
6 fnsng 4890 . . . . 5 ((∅ V (𝐺‘∅) 𝑉) → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅})
71, 6mpan 400 . . . 4 ((𝐺‘∅) 𝑉 → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅})
8 fvsng 5302 . . . . . . 7 ((∅ V (𝐺‘∅) 𝑉) → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘∅))
91, 8mpan 400 . . . . . 6 ((𝐺‘∅) 𝑉 → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘∅))
10 res0 4559 . . . . . . 7 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅) = ∅
1110fveq2i 5124 . . . . . 6 (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
129, 11syl6eqr 2087 . . . . 5 ((𝐺‘∅) 𝑉 → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
13 fveq2 5121 . . . . . . 7 (y = ∅ → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅))
14 reseq2 4550 . . . . . . . 8 (y = ∅ → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅))
1514fveq2d 5125 . . . . . . 7 (y = ∅ → (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
1613, 15eqeq12d 2051 . . . . . 6 (y = ∅ → (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅))))
171, 16ralsn 3405 . . . . 5 (y {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
1812, 17sylibr 137 . . . 4 ((𝐺‘∅) 𝑉y {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))
19 suc0 4114 . . . . . 6 suc ∅ = {∅}
20 0elon 4095 . . . . . . 7 On
2120onsuci 4207 . . . . . 6 suc ∅ On
2219, 21eqeltrri 2108 . . . . 5 {∅} On
23 fneq2 4931 . . . . . . 7 (x = {∅} → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x ↔ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅}))
24 raleq 2499 . . . . . . 7 (x = {∅} → (y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)) ↔ y {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))))
2523, 24anbi12d 442 . . . . . 6 (x = {∅} → (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} y {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))))
2625rspcev 2650 . . . . 5 (({∅} On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} y {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))) → x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))))
2722, 26mpan 400 . . . 4 (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} y {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))) → x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))))
287, 18, 27syl2anc 391 . . 3 ((𝐺‘∅) 𝑉x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))))
29 snexg 3927 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ V → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} V)
30 eleq2 2098 . . . . . . 7 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ f ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}))
31 fneq1 4930 . . . . . . . . 9 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (f Fn x ↔ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x))
32 fveq1 5120 . . . . . . . . . . 11 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (fy) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y))
33 reseq1 4549 . . . . . . . . . . . 12 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (fy) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))
3433fveq2d 5125 . . . . . . . . . . 11 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝐺‘(fy)) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))
3532, 34eqeq12d 2051 . . . . . . . . . 10 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((fy) = (𝐺‘(fy)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))))
3635ralbidv 2320 . . . . . . . . 9 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (y x (fy) = (𝐺‘(fy)) ↔ y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))))
3731, 36anbi12d 442 . . . . . . . 8 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy))) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))))
3837rexbidv 2321 . . . . . . 7 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (x On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy))) ↔ x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))))
3930, 38anbi12d 442 . . . . . 6 (f = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ f x On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy)))) ↔ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y))))))
4039spcegv 2635 . . . . 5 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} V → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))) → f(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ f x On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy))))))
413, 29, 403syl 17 . . . 4 ((𝐺‘∅) 𝑉 → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))) → f(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ f x On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy))))))
42 tfr.1 . . . . . 6 𝐹 = recs(𝐺)
4342eleq2i 2101 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹 ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ recs(𝐺))
44 df-recs 5861 . . . . . 6 recs(𝐺) = {fx On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy)))}
4544eleq2i 2101 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ recs(𝐺) ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {fx On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy)))})
46 eluniab 3583 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {fx On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy)))} ↔ f(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ f x On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy)))))
4743, 45, 463bitri 195 . . . 4 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹f(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ f x On (f Fn x y x (fy) = (𝐺‘(fy)))))
4841, 47syl6ibr 151 . . 3 ((𝐺‘∅) 𝑉 → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} x On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn x y x ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘y) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ y)))) → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹))
495, 28, 48mp2and 409 . 2 ((𝐺‘∅) 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹)
50 opeldmg 4483 . . . . 5 ((∅ V (𝐺‘∅) 𝑉) → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹 → ∅ dom 𝐹))
511, 50mpan 400 . . . 4 ((𝐺‘∅) 𝑉 → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹 → ∅ dom 𝐹))
5242tfr2a 5877 . . . 4 (∅ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5351, 52syl6 29 . . 3 ((𝐺‘∅) 𝑉 → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅))))
54 res0 4559 . . . . 5 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
5554fveq2i 5124 . . . 4 (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
5655eqeq2i 2047 . . 3 ((𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) ↔ (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))
5753, 56syl6ib 150 . 2 ((𝐺‘∅) 𝑉 → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅)))
5849, 57mpd 13 1 ((𝐺‘∅) 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  wrex 2301  Vcvv 2551  c0 3218  {csn 3367  cop 3370   cuni 3571  Oncon0 4066  suc csuc 4068  dom cdm 4288  cres 4290   Fn wfn 4840  cfv 4845  recscrecs 5860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-recs 5861
This theorem is referenced by:  rdg0  5914  frec0g  5922
  Copyright terms: Public domain W3C validator