ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ensn1 GIF version

Theorem ensn1 6276
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ensn1 {𝐴} ≈ 1𝑜

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2 0ex 3884 . . . . 5 ∅ ∈ V
31, 2f1osn 5166 . . . 4 {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
41, 2opex 3966 . . . . . 6 𝐴, ∅⟩ ∈ V
54snex 3937 . . . . 5 {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
6 f1oeq1 5117 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
75, 6spcev 2647 . . . 4 ({⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
83, 7ax-mp 7 . . 3 𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
9 bren 6228 . . 3 ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
108, 9mpbir 134 . 2 {𝐴} ≈ {∅}
11 df1o2 6013 . 2 1𝑜 = {∅}
1210, 11breqtrri 3789 1 {𝐴} ≈ 1𝑜
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wex 1381  wcel 1393  Vcvv 2557  c0 3224  {csn 3375  cop 3378   class class class wbr 3764  1-1-ontowf1o 4901  1𝑜c1o 5994  cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-1o 6001  df-en 6222
This theorem is referenced by:  ensn1g  6277  en1  6279
  Copyright terms: Public domain W3C validator