Theorem 0ex 3884

Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 3883. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0ex	|- (/) e. _V

Proof of Theorem 0ex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-nul 3883	. . 3 |- E. x A. y -. y e. x
2		eq0 3239	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	exbii 1496	. . 3 |- ( E. x x = (/) <-> E. x A. y -. y e. x )
4	1, 3	mpbir 134	. 2 |- E. x x = (/)
5	4	issetri 2564	1 |- (/) e. _V

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   (/)c0 3224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-nul 3225

This theorem is referenced by:  0elpw  3917  0nep0  3918  iin0r  3922  intv  3923  snexprc  3938  p0ex  3939  0elon  4129  onm  4138  ordtriexmidlem2  4246  ordtriexmid  4247  ordtri2orexmid  4248  ontr2exmid  4250  onsucsssucexmid  4252  onsucelsucexmidlem1  4253  onsucelsucexmid  4255  regexmidlem1  4258  reg2exmidlema  4259  ordsoexmid  4286  0elsucexmid  4289  ordpwsucexmid  4294  ordtri2or2exmid  4296  peano1  4317  finds  4323  finds2  4324  0elnn  4340  opthprc  4391  nfunv  4933  fun0  4957  acexmidlema  5503  acexmidlemb  5504  acexmidlemab  5506  ovprc  5540  1st0  5771  2nd0  5772  brtpos0  5867  reldmtpos  5868  tfr0  5937  rdg0  5974  frec0g  5983  1n0  6016  el1o  6020  fnom  6030  omexg  6031  om0  6038  nnsucsssuc  6071  en0  6275  ensn1  6276  en1  6279  2dom  6285  xp1en  6297  endisj  6298  php5dom  6325  ssfiexmid  6336  diffitest  6344  ac6sfi  6352  indpi  6440  frecfzennn  9203  bj-d0clsepcl  10049  bj-indint  10055  bj-bdfindis  10072  bj-inf2vnlem1  10095