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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > tfr0 | Unicode version |
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.) |
Ref | Expression |
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tfr.1 |
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tfr0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0ex 3875 |
. . . . 5
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2 | opexg 3955 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | mpan 400 |
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4 | snidg 3392 |
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5 | 3, 4 | syl 14 |
. . 3
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6 | fnsng 4890 |
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7 | 1, 6 | mpan 400 |
. . . 4
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8 | fvsng 5302 |
. . . . . . 7
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9 | 1, 8 | mpan 400 |
. . . . . 6
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10 | res0 4559 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | fveq2i 5124 |
. . . . . 6
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12 | 9, 11 | syl6eqr 2087 |
. . . . 5
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13 | fveq2 5121 |
. . . . . . 7
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14 | reseq2 4550 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | fveq2d 5125 |
. . . . . . 7
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16 | 13, 15 | eqeq12d 2051 |
. . . . . 6
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17 | 1, 16 | ralsn 3405 |
. . . . 5
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18 | 12, 17 | sylibr 137 |
. . . 4
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19 | suc0 4114 |
. . . . . 6
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20 | 0elon 4095 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | onsuci 4207 |
. . . . . 6
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22 | 19, 21 | eqeltrri 2108 |
. . . . 5
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23 | fneq2 4931 |
. . . . . . 7
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24 | raleq 2499 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | anbi12d 442 |
. . . . . 6
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26 | 25 | rspcev 2650 |
. . . . 5
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27 | 22, 26 | mpan 400 |
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28 | 7, 18, 27 | syl2anc 391 |
. . 3
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29 | snexg 3927 |
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30 | eleq2 2098 |
. . . . . . 7
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31 | fneq1 4930 |
. . . . . . . . 9
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32 | fveq1 5120 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | reseq1 4549 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 33 | fveq2d 5125 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 32, 34 | eqeq12d 2051 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | ralbidv 2320 |
. . . . . . . . 9
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37 | 31, 36 | anbi12d 442 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | rexbidv 2321 |
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39 | 30, 38 | anbi12d 442 |
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40 | 39 | spcegv 2635 |
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41 | 3, 29, 40 | 3syl 17 |
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42 | tfr.1 |
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43 | 42 | eleq2i 2101 |
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44 | df-recs 5861 |
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45 | 44 | eleq2i 2101 |
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46 | eluniab 3583 |
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47 | 43, 45, 46 | 3bitri 195 |
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48 | 41, 47 | syl6ibr 151 |
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49 | 5, 28, 48 | mp2and 409 |
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50 | opeldmg 4483 |
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51 | 1, 50 | mpan 400 |
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52 | 42 | tfr2a 5877 |
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53 | 51, 52 | syl6 29 |
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54 | res0 4559 |
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55 | 54 | fveq2i 5124 |
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56 | 55 | eqeq2i 2047 |
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57 | 53, 56 | syl6ib 150 |
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58 | 49, 57 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-13 1401 ax-14 1402 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-sep 3866 ax-nul 3874 ax-pow 3918 ax-pr 3935 ax-un 4136 ax-setind 4220 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-3an 886 df-tru 1245 df-fal 1248 df-nf 1347 df-sb 1643 df-eu 1900 df-mo 1901 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ral 2305 df-rex 2306 df-rab 2309 df-v 2553 df-sbc 2759 df-csb 2847 df-dif 2914 df-un 2916 df-in 2918 df-ss 2925 df-nul 3219 df-pw 3353 df-sn 3373 df-pr 3374 df-op 3376 df-uni 3572 df-iun 3650 df-br 3756 df-opab 3810 df-mpt 3811 df-tr 3846 df-id 4021 df-iord 4069 df-on 4071 df-suc 4074 df-xp 4294 df-rel 4295 df-cnv 4296 df-co 4297 df-dm 4298 df-res 4300 df-iota 4810 df-fun 4847 df-fn 4848 df-fv 4853 df-recs 5861 |
This theorem is referenced by: rdg0 5914 frec0g 5922 |
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