ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr0 Structured version   Unicode version

Theorem tfr0 5878
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1  F recs G
Assertion
Ref Expression
tfr0  G `  (/)  V  F `
 (/)  G `  (/)

Proof of Theorem tfr0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . 5  (/)  _V
2 opexg 3955 . . . . 5  (/)  _V  G `  (/)  V  <. (/)
,  G `  (/) >.  _V
31, 2mpan 400 . . . 4  G `  (/)  V  <. (/) ,  G `  (/) >. 
_V
4 snidg 3392 . . . 4  <. (/)
,  G `  (/) >.  _V  <. (/) ,  G `
 (/) >.  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }
53, 4syl 14 . . 3  G `  (/)  V  <. (/) ,  G `  (/) >. 
{ <. (/) ,  G `
 (/) >. }
6 fnsng 4890 . . . . 5  (/)  _V  G `  (/)  V  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  Fn  {
(/) }
71, 6mpan 400 . . . 4  G `  (/)  V  { <. (/)
,  G `  (/) >. }  Fn  { (/)
}
8 fvsng 5302 . . . . . . 7  (/)  _V  G `  (/)  V  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  (/)  G `
 (/)
91, 8mpan 400 . . . . . 6  G `  (/)  V  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  (/)  G `
 (/)
10 res0 4559 . . . . . . 7  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  (/)  (/)
1110fveq2i 5124 . . . . . 6  G `
 { <. (/)
,  G `  (/) >. }  |`  (/)  G `  (/)
129, 11syl6eqr 2087 . . . . 5  G `  (/)  V  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  (/)  G `
 { <. (/)
,  G `  (/) >. }  |`  (/)
13 fveq2 5121 . . . . . . 7  (/)  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  (/)
14 reseq2 4550 . . . . . . . 8  (/)  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  |`  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  (/)
1514fveq2d 5125 . . . . . . 7  (/)  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  (/)
1613, 15eqeq12d 2051 . . . . . 6  (/)  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  (/)  G `
 { <. (/)
,  G `  (/) >. }  |`  (/)
171, 16ralsn 3405 . . . . 5  { (/) }  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  (/)  G `
 { <. (/)
,  G `  (/) >. }  |`  (/)
1812, 17sylibr 137 . . . 4  G `  (/)  V  { (/) }  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
19 suc0 4114 . . . . . 6  suc  (/)  { (/)
}
20 0elon 4095 . . . . . . 7  (/)  On
2120onsuci 4207 . . . . . 6  suc  (/)  On
2219, 21eqeltrri 2108 . . . . 5  { (/) }  On
23 fneq2 4931 . . . . . . 7  { (/) }  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  {
(/) }
24 raleq 2499 . . . . . . 7  { (/) }  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  { (/) }  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
2523, 24anbi12d 442 . . . . . 6  { (/) }  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  Fn  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  Fn  {
(/) }  { (/) }  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
2625rspcev 2650 . . . . 5  { (/) }  On  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  Fn  { (/) }  { (/) }  { <. (/) ,  G `  (/) >. } `
 G `  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  |`  On  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/)
,  G `  (/) >. } `  G `  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`
2722, 26mpan 400 . . . 4  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  {
(/) }  { (/) }  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`  On  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/)
,  G `  (/) >. } `  G `  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`
287, 18, 27syl2anc 391 . . 3  G `  (/)  V  On  { <. (/)
,  G `  (/) >. }  Fn  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
29 snexg 3927 . . . . 5  <. (/)
,  G `  (/) >.  _V  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  _V
30 eleq2 2098 . . . . . . 7  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  <. (/) ,  G `
 (/) >. 
<. (/) ,  G `
 (/) >.  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }
31 fneq1 4930 . . . . . . . . 9  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  Fn  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn
32 fveq1 5120 . . . . . . . . . . 11  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `
33 reseq1 4549 . . . . . . . . . . . 12  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
3433fveq2d 5125 . . . . . . . . . . 11  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  G `  |`  G `  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  |`
3532, 34eqeq12d 2051 . . . . . . . . . 10  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  `  G `  |`  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
3635ralbidv 2320 . . . . . . . . 9  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  `  G `  |`  { <.
(/) ,  G `  (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
3731, 36anbi12d 442 . . . . . . . 8  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  Fn  `  G `  |`  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  Fn  { <. (/) ,  G `
 (/) >. } `  G `  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  |`
3837rexbidv 2321 . . . . . . 7  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  On  Fn  `  G `  |`  On  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/)
,  G `  (/) >. } `  G `  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`
3930, 38anbi12d 442 . . . . . 6  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  <. (/) ,  G `  (/) >.  On  Fn  `  G `  |`  <. (/) ,  G `  (/) >. 
{ <. (/) ,  G `
 (/) >. }  On  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/)
,  G `  (/) >. } `  G `  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`
4039spcegv 2635 . . . . 5  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  _V  <. (/)
,  G `  (/) >.  { <. (/)
,  G `  (/) >. }  On  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/)
,  G `  (/) >. } `  G `  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`  <. (/) ,  G `
 (/) >.  On  Fn  `  G `  |`
413, 29, 403syl 17 . . . 4  G `  (/)  V 
<. (/) ,  G `
 (/) >.  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  On  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/)
,  G `  (/) >. } `  G `  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`  <. (/) ,  G `
 (/) >.  On  Fn  `  G `  |`
42 tfr.1 . . . . . 6  F recs G
4342eleq2i 2101 . . . . 5  <. (/)
,  G `  (/) >.  F  <.
(/) ,  G `  (/) >. recs G
44 df-recs 5861 . . . . . 6 recs G  U. {  |  On  Fn  `  G `  |`  }
4544eleq2i 2101 . . . . 5  <. (/)
,  G `  (/) >. recs G  <. (/) ,  G `
 (/) >.  U. {  |  On  Fn  `  G `  |`  }
46 eluniab 3583 . . . . 5  <. (/)
,  G `  (/) >.  U. {  |  On  Fn  `  G `  |`  } 
<. (/) ,  G `
 (/) >.  On  Fn  `  G `  |`
4743, 45, 463bitri 195 . . . 4  <. (/)
,  G `  (/) >.  F  <. (/) ,  G `  (/) >.  On  Fn  `  G `  |`
4841, 47syl6ibr 151 . . 3  G `  (/)  V 
<. (/) ,  G `
 (/) >.  { <.
(/) ,  G `  (/) >. }  On  { <. (/) ,  G `
 (/) >. }  Fn  { <. (/)
,  G `  (/) >. } `  G `  { <. (/) ,  G `  (/) >. }  |`  <. (/) ,  G `  (/) >.  F
495, 28, 48mp2and 409 . 2  G `  (/)  V  <. (/) ,  G `  (/) >.  F
50 opeldmg 4483 . . . . 5  (/)  _V  G `  (/)  V  <.
(/) ,  G `  (/) >.  F 
(/)  dom  F
511, 50mpan 400 . . . 4  G `  (/)  V  <. (/)
,  G `  (/) >.  F 
(/)  dom  F
5242tfr2a 5877 . . . 4  (/)  dom  F  F `  (/)  G `  F  |`  (/)
5351, 52syl6 29 . . 3  G `  (/)  V  <. (/)
,  G `  (/) >.  F  F `  (/)  G `  F  |`  (/)
54 res0 4559 . . . . 5  F  |`  (/)  (/)
5554fveq2i 5124 . . . 4  G `
 F  |`  (/)  G `  (/)
5655eqeq2i 2047 . . 3  F `  (/)  G `  F  |`  (/)  F `
 (/)  G `  (/)
5753, 56syl6ib 150 . 2  G `  (/)  V  <. (/)
,  G `  (/) >.  F  F `  (/)  G `  (/)
5849, 57mpd 13 1  G `  (/)  V  F `
 (/)  G `  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   Oncon0 4066   suc csuc 4068   dom cdm 4288    |` cres 4290    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  recscrecs 5860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-recs 5861
This theorem is referenced by:  rdg0  5914  frec0g  5922
  Copyright terms: Public domain W3C validator