ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opthprc Structured version   Unicode version

Theorem opthprc 4334
Description: Justification theorem for an ordered pair definition that works for any classes, including proper classes. This is a possible definition implied by the footnote in [Jech] p. 78, which says, "The sophisticated reader will not object to our use of a pair of classes." (Contributed by NM, 28-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
opthprc  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  C  D

Proof of Theorem opthprc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2098 . . . . 5  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  <. ,  (/) >.  X.  { (/) }  u.  X.  { { (/) } }  <. ,  (/) >.  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }
2 0ex 3875 . . . . . . . . 9  (/)  _V
32snid 3394 . . . . . . . 8  (/)  { (/)
}
4 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  (/) >.  X.  { (/) }  (/)  { (/) }
53, 4mpbiran2 847 . . . . . . 7  <. ,  (/) >.  X.  { (/) }
6 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  (/) >.  X.  { { (/) } }  (/)  { { (/) } }
7 0nep0 3909 . . . . . . . . . 10  (/)  =/=  { (/)
}
82elsnc 3390 . . . . . . . . . 10  (/)  { { (/) } }  (/)  { (/) }
97, 8nemtbir 2288 . . . . . . . . 9  (/)  { { (/) } }
109bianfi 853 . . . . . . . 8  (/)  { { (/) } }  (/)  { { (/)
} }
116, 10bitr4i 176 . . . . . . 7  <. ,  (/) >.  X.  { { (/) } }  (/)  { { (/) } }
125, 11orbi12i 680 . . . . . 6 
<. ,  (/) >.  X.  { (/) }  <. ,  (/) >.  X.  { { (/) } }  (/)  { { (/) } }
13 elun 3078 . . . . . 6  <. ,  (/) >.  X.  { (/) }  u.  X.  { { (/) } }  <. ,  (/) >.  X.  { (/) }  <. ,  (/) >.  X.  { { (/) } }
149biorfi 664 . . . . . 6  (/)  { { (/) } }
1512, 13, 143bitr4ri 202 . . . . 5  <. ,  (/) >.  X.  { (/) }  u.  X.  { { (/) } }
16 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  (/) >.  C  X.  { (/) }  C  (/)  { (/) }
173, 16mpbiran2 847 . . . . . . 7  <. ,  (/) >.  C  X.  { (/) }  C
18 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  (/) >.  D  X.  { { (/) } }  D  (/)  { { (/) } }
199bianfi 853 . . . . . . . 8  (/)  { { (/) } }  D  (/)  { { (/)
} }
2018, 19bitr4i 176 . . . . . . 7  <. ,  (/) >.  D  X.  { { (/) } }  (/)  { { (/) } }
2117, 20orbi12i 680 . . . . . 6 
<. ,  (/) >.  C  X.  { (/) }  <. ,  (/) >.  D  X.  { { (/) } }  C  (/)  { { (/) } }
22 elun 3078 . . . . . 6  <. ,  (/) >.  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  <. ,  (/) >.  C  X.  { (/) }  <. ,  (/) >.  D  X.  { { (/) } }
239biorfi 664 . . . . . 6  C  C  (/)  { { (/) } }
2421, 22, 233bitr4ri 202 . . . . 5  C  <. ,  (/) >.  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }
251, 15, 243bitr4g 212 . . . 4  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  C
2625eqrdv 2035 . . 3  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  C
27 eleq2 2098 . . . . 5  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  <. ,  { (/) } >.  X.  { (/) }  u.  X.  { { (/) } }  <. ,  { (/)
} >.  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }
28 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  { (/) } >.  X.  { (/)
}  { (/)
}  { (/) }
29 p0ex 3930 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  _V
3029elsnc 3390 . . . . . . . . . . 11  { (/)
}  { (/) }  { (/) }  (/)
31 eqcom 2039 . . . . . . . . . . 11  { (/)
}  (/)  (/)  { (/)
}
3230, 31bitri 173 . . . . . . . . . 10  { (/)
}  { (/) } 
(/)  { (/) }
337, 32nemtbir 2288 . . . . . . . . 9  { (/)
}  { (/) }
3433bianfi 853 . . . . . . . 8  { (/)
}  { (/) }  { (/) }  { (/)
}
3528, 34bitr4i 176 . . . . . . 7  <. ,  { (/) } >.  X.  { (/)
}  { (/) }  { (/) }
3629snid 3394 . . . . . . . 8  { (/) }  { { (/) } }
37 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  { (/) } >.  X.  { { (/) } }  { (/) }  { { (/) } }
3836, 37mpbiran2 847 . . . . . . 7  <. ,  { (/) } >.  X.  { { (/) } }
3935, 38orbi12i 680 . . . . . 6 
<. ,  { (/) }
>.  X.  { (/) } 
<. ,  { (/) }
>.  X.  { { (/) } }  { (/) }  { (/) }
40 elun 3078 . . . . . 6  <. ,  { (/) } >.  X.  { (/) }  u.  X.  { { (/) } }  <. ,  { (/) } >.  X.  { (/) }  <. ,  { (/) } >.  X.  { { (/)
} }
41 biorf 662 . . . . . . 7 
{ (/) }  { (/)
}  { (/) }  { (/) }
4233, 41ax-mp 7 . . . . . 6  { (/)
}  { (/) }
4339, 40, 423bitr4ri 202 . . . . 5  <. ,  { (/) } >.  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }
44 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  { (/) } >.  C  X.  { (/)
}  C  { (/)
}  { (/) }
4533bianfi 853 . . . . . . . 8  { (/)
}  { (/) }  C  { (/) }  { (/)
}
4644, 45bitr4i 176 . . . . . . 7  <. ,  { (/) } >.  C  X.  { (/)
}  { (/) }  { (/) }
47 opelxp 4317 . . . . . . . 8  <. ,  { (/) } >.  D  X.  { { (/) } }  D  { (/) }  { { (/) } }
4836, 47mpbiran2 847 . . . . . . 7  <. ,  { (/) } >.  D  X.  { { (/) } }  D
4946, 48orbi12i 680 . . . . . 6 
<. ,  { (/) }
>.  C  X.  { (/) } 
<. ,  { (/) }
>.  D  X.  { { (/) } }  { (/) }  { (/) }  D
50 elun 3078 . . . . . 6  <. ,  { (/) } >.  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  <. ,  { (/) } >.  C  X.  { (/) }  <. ,  { (/) } >.  D  X.  { { (/)
} }
51 biorf 662 . . . . . . 7 
{ (/) }  { (/)
}  D  { (/)
}  { (/) }  D
5233, 51ax-mp 7 . . . . . 6  D  { (/)
}  { (/) }  D
5349, 50, 523bitr4ri 202 . . . . 5  D  <. ,  { (/) } >.  C  X.  { (/)
}  u.  D  X.  { { (/) } }
5427, 43, 533bitr4g 212 . . . 4  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  D
5554eqrdv 2035 . . 3  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  D
5626, 55jca 290 . 2  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  C  D
57 xpeq1 4302 . . 3  C  X.  { (/) }  C  X.  { (/) }
58 xpeq1 4302 . . 3  D  X.  { { (/) } }  D  X.  { { (/)
} }
59 uneq12 3086 . . 3  X.  { (/)
}  C  X.  { (/) }  X.  { { (/) } }  D  X.  { { (/)
} }  X.  { (/) }  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }
6057, 58, 59syl2an 273 . 2  C  D  X.  { (/) }  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }
6156, 60impbii 117 1  X.  { (/)
}  u.  X.  { { (/) } }  C  X.  { (/) }  u.  D  X.  { { (/) } }  C  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370    X. cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator