ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0elnn Unicode version

Theorem 0elnn 4283
Description: A natural number is either the empty set or has the empty set as an element. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
0elnn  om  (/)  (/)

Proof of Theorem 0elnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2043 . . 3  (/)  (/)  (/)  (/)
2 eleq2 2098 . . 3  (/)  (/)  (/)  (/)
31, 2orbi12d 706 . 2  (/)  (/)  (/)  (/)  (/)  (/)  (/)
4 eqeq1 2043 . . 3  (/)  (/)
5 eleq2 2098 . . 3  (/)  (/)
64, 5orbi12d 706 . 2  (/)  (/)  (/)  (/)
7 eqeq1 2043 . . 3  suc  (/)  suc  (/)
8 eleq2 2098 . . 3  suc  (/)  (/)  suc
97, 8orbi12d 706 . 2  suc  (/)  (/)  suc  (/)  (/)  suc
10 eqeq1 2043 . . 3  (/)  (/)
11 eleq2 2098 . . 3  (/)  (/)
1210, 11orbi12d 706 . 2  (/)  (/)  (/)  (/)
13 eqid 2037 . . 3  (/)  (/)
1413orci 649 . 2  (/)  (/)  (/)  (/)
15 0ex 3875 . . . . . . 7  (/)  _V
1615sucid 4120 . . . . . 6  (/)  suc  (/)
17 suceq 4105 . . . . . 6  (/)  suc  suc  (/)
1816, 17syl5eleqr 2124 . . . . 5  (/)  (/)  suc
1918a1i 9 . . . 4  om  (/)  (/)  suc
20 sssucid 4118 . . . . . 6  C_  suc
2120a1i 9 . . . . 5  om  C_ 
suc
2221sseld 2938 . . . 4  om  (/)  (/)  suc
2319, 22jaod 636 . . 3  om  (/)  (/)  (/)  suc
24 olc 631 . . 3  (/)  suc  suc  (/)  (/)  suc
2523, 24syl6 29 . 2  om  (/)  (/)  suc  (/)  (/)  suc
263, 6, 9, 12, 14, 25finds 4266 1  om  (/)  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wo 628   wceq 1242   wcel 1390    C_ wss 2911   (/)c0 3218   suc csuc 4068   omcom 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257
This theorem is referenced by:  nn0eln0  4284  nnsucsssuc  6010  nntri3or  6011  nnm00  6038  ssfiexmid  6254  elni2  6298  enq0tr  6417
  Copyright terms: Public domain W3C validator