ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsucsssuc Structured version   Unicode version

Theorem nnsucsssuc 6010
Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4200, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4212. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnsucsssuc  om  om  C_  suc  C_  suc

Proof of Theorem nnsucsssuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 2960 . . . . . 6  C_  C_
2 suceq 4105 . . . . . . 7  suc  suc
32sseq1d 2966 . . . . . 6  suc  C_  suc  suc  C_ 
suc
41, 3imbi12d 223 . . . . 5  C_  suc  C_  suc  C_  suc  C_  suc
54imbi2d 219 . . . 4  om  C_  suc  C_  suc  om  C_  suc 
C_  suc
6 sseq1 2960 . . . . . 6  (/)  C_  (/)  C_
7 suceq 4105 . . . . . . 7  (/)  suc  suc  (/)
87sseq1d 2966 . . . . . 6  (/)  suc  C_  suc  suc  (/)  C_  suc
96, 8imbi12d 223 . . . . 5  (/)  C_  suc  C_  suc  (/)  C_  suc  (/)  C_  suc
10 sseq1 2960 . . . . . 6  C_  C_
11 suceq 4105 . . . . . . 7  suc  suc
1211sseq1d 2966 . . . . . 6  suc  C_  suc  suc  C_ 
suc
1310, 12imbi12d 223 . . . . 5  C_  suc  C_  suc  C_  suc  C_  suc
14 sseq1 2960 . . . . . 6  suc  C_  suc  C_
15 suceq 4105 . . . . . . 7  suc 
suc  suc  suc
1615sseq1d 2966 . . . . . 6  suc  suc  C_  suc  suc  suc  C_  suc
1714, 16imbi12d 223 . . . . 5  suc  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  suc  C_  suc
18 peano3 4262 . . . . . . . . 9  om  suc  =/=  (/)
1918neneqd 2221 . . . . . . . 8  om  suc  (/)
20 peano2 4261 . . . . . . . . . 10  om  suc  om
21 0elnn 4283 . . . . . . . . . 10  suc  om  suc  (/)  (/)  suc
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9  om  suc  (/)  (/)  suc
2322ord 642 . . . . . . . 8  om  suc  (/) 
(/)  suc
2419, 23mpd 13 . . . . . . 7  om  (/)  suc
25 nnord 4277 . . . . . . . 8  om  Ord
26 ordsucim 4192 . . . . . . . 8  Ord  Ord  suc
27 0ex 3875 . . . . . . . . 9  (/)  _V
28 ordelsuc 4197 . . . . . . . . 9  (/)  _V  Ord  suc  (/)  suc  suc  (/)  C_  suc
2927, 28mpan 400 . . . . . . . 8  Ord 
suc  (/)  suc  suc  (/)  C_  suc
3025, 26, 293syl 17 . . . . . . 7  om  (/)  suc  suc  (/)  C_  suc
3124, 30mpbid 135 . . . . . 6  om  suc  (/)  C_  suc
3231a1d 22 . . . . 5  om  (/)  C_  suc  (/)  C_  suc
33 simp3 905 . . . . . . . . . 10  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  C_
34 simp1l 927 . . . . . . . . . . 11  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  om
35 simp1r 928 . . . . . . . . . . . 12  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  om
3635, 25syl 14 . . . . . . . . . . 11  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  Ord
37 ordelsuc 4197 . . . . . . . . . . 11  om  Ord  suc  C_
3834, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  C_
3933, 38mpbird 156 . . . . . . . . 9  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_
40 nnsucelsuc 6009 . . . . . . . . . 10  om  suc  suc
4135, 40syl 14 . . . . . . . . 9  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  suc
4239, 41mpbid 135 . . . . . . . 8  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  suc
43 peano2 4261 . . . . . . . . . 10  om  suc  om
4434, 43syl 14 . . . . . . . . 9  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  om
4536, 26syl 14 . . . . . . . . 9  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  Ord  suc
46 ordelsuc 4197 . . . . . . . . 9  suc  om 
Ord  suc  suc  suc  suc  suc  C_  suc
4744, 45, 46syl2anc 391 . . . . . . . 8  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  suc  suc  suc  C_  suc
4842, 47mpbid 135 . . . . . . 7  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc  suc  C_  suc
49483expia 1105 . . . . . 6  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc 
suc  C_  suc
5049exp31 346 . . . . 5  om  om  C_  suc  C_  suc  suc  C_  suc 
suc  C_  suc
519, 13, 17, 32, 50finds2 4267 . . . 4  om  om  C_  suc  C_  suc
525, 51vtoclga 2613 . . 3  om  om  C_  suc  C_  suc
5352imp 115 . 2  om  om  C_  suc  C_  suc
54 nnon 4275 . . 3  om  On
55 onsucsssucr 4200 . . 3  On  Ord  suc  C_  suc 
C_
5654, 25, 55syl2an 273 . 2  om  om  suc  C_  suc  C_
5753, 56impbid 120 1  om  om  C_  suc  C_  suc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   (/)c0 3218   Ord word 4065   Oncon0 4066   suc csuc 4068   omcom 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257
This theorem is referenced by:  nnaword  6020
  Copyright terms: Public domain W3C validator