Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsucsssuc Unicode version

Theorem nnsucsssuc 6071
 Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4235, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4252. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnsucsssuc

Proof of Theorem nnsucsssuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 2966 . . . . . 6
2 suceq 4139 . . . . . . 7
32sseq1d 2972 . . . . . 6
41, 3imbi12d 223 . . . . 5
54imbi2d 219 . . . 4
6 sseq1 2966 . . . . . 6
7 suceq 4139 . . . . . . 7
87sseq1d 2972 . . . . . 6
96, 8imbi12d 223 . . . . 5
10 sseq1 2966 . . . . . 6
11 suceq 4139 . . . . . . 7
1211sseq1d 2972 . . . . . 6
1310, 12imbi12d 223 . . . . 5
14 sseq1 2966 . . . . . 6
15 suceq 4139 . . . . . . 7
1615sseq1d 2972 . . . . . 6
1714, 16imbi12d 223 . . . . 5
18 peano3 4319 . . . . . . . . 9
1918neneqd 2226 . . . . . . . 8
20 peano2 4318 . . . . . . . . . 10
21 0elnn 4340 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9
2322ord 643 . . . . . . . 8
2419, 23mpd 13 . . . . . . 7
25 nnord 4334 . . . . . . . 8
26 ordsucim 4226 . . . . . . . 8
27 0ex 3884 . . . . . . . . 9
28 ordelsuc 4231 . . . . . . . . 9
2927, 28mpan 400 . . . . . . . 8
3025, 26, 293syl 17 . . . . . . 7
3124, 30mpbid 135 . . . . . 6
3231a1d 22 . . . . 5
33 simp3 906 . . . . . . . . . 10
34 simp1l 928 . . . . . . . . . . 11
35 simp1r 929 . . . . . . . . . . . 12
3635, 25syl 14 . . . . . . . . . . 11
37 ordelsuc 4231 . . . . . . . . . . 11
3834, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . 10
3933, 38mpbird 156 . . . . . . . . 9
40 nnsucelsuc 6070 . . . . . . . . . 10
4135, 40syl 14 . . . . . . . . 9
4239, 41mpbid 135 . . . . . . . 8
43 peano2 4318 . . . . . . . . . 10
4434, 43syl 14 . . . . . . . . 9
4536, 26syl 14 . . . . . . . . 9
46 ordelsuc 4231 . . . . . . . . 9
4744, 45, 46syl2anc 391 . . . . . . . 8
4842, 47mpbid 135 . . . . . . 7
49483expia 1106 . . . . . 6
5049exp31 346 . . . . 5
519, 13, 17, 32, 50finds2 4324 . . . 4
525, 51vtoclga 2619 . . 3
5352imp 115 . 2
54 nnon 4332 . . 3
55 onsucsssucr 4235 . . 3
5654, 25, 55syl2an 273 . 2
5753, 56impbid 120 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 629   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393  cvv 2557   wss 2917  c0 3224   word 4099  con0 4100   csuc 4102  com 4313 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314 This theorem is referenced by:  nnaword  6084
 Copyright terms: Public domain W3C validator