Theorem nnaword 6020

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword	|- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A C_ B <-> ( C +o A) C_ ( C +o B)))

Proof of Theorem nnaword

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = C -> (x +o A) = ( C +o A))
2		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = C -> (x +o B) = ( C +o B))
3	1, 2	sseq12d 2968	. . . . . 6 |- (x = C -> ((x +o A) C_ (x +o B) <-> ( C +o A) C_ ( C +o B)))
4	3	bibi2d 221	. . . . 5 |- (x = C -> ((A C_ B <-> (x +o A) C_ (x +o B)) <-> (A C_ B <-> ( C +o A) C_ ( C +o B))))
5	4	imbi2d 219	. . . 4 |- (x = C -> (((A e. om /\ B e. om) -> (A C_ B <-> (x +o A) C_ (x +o B))) <-> ((A e. om /\ B e. om) -> (A C_ B <-> ( C +o A) C_ ( C +o B)))))
6		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = (/) -> (x +o A) = ( (/) +o A))
7		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = (/) -> (x +o B) = ( (/) +o B))
8	6, 7	sseq12d 2968	. . . . . 6 |- (x = (/) -> ((x +o A) C_ (x +o B) <-> ( (/) +o A) C_ ( (/) +o B)))
9	8	bibi2d 221	. . . . 5 |- (x = (/) -> ((A C_ B <-> (x +o A) C_ (x +o B)) <-> (A C_ B <-> ( (/) +o A) C_ ( (/) +o B))))
10		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = y -> (x +o A) = (y +o A))
11		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = y -> (x +o B) = (y +o B))
12	10, 11	sseq12d 2968	. . . . . 6 |- (x = y -> ((x +o A) C_ (x +o B) <-> (y +o A) C_ (y +o B)))
13	12	bibi2d 221	. . . . 5 |- (x = y -> ((A C_ B <-> (x +o A) C_ (x +o B)) <-> (A C_ B <-> (y +o A) C_ (y +o B))))
14		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = suc y -> (x +o A) = ( suc y +o A))
15		oveq1 5462	. . . . . . 7 |- (x = suc y -> (x +o B) = ( suc y +o B))
16	14, 15	sseq12d 2968	. . . . . 6 |- (x = suc y -> ((x +o A) C_ (x +o B) <-> ( suc y +o A) C_ ( suc y +o B)))
17	16	bibi2d 221	. . . . 5 |- (x = suc y -> ((A C_ B <-> (x +o A) C_ (x +o B)) <-> (A C_ B <-> ( suc y +o A) C_ ( suc y +o B))))
18		nna0r 5996	. . . . . . . 8 |- (A e. om -> ( (/) +o A) = A)
19	18	eqcomd 2042	. . . . . . 7 |- (A e. om -> A = ( (/) +o A))
20	19	adantr 261	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om) -> A = ( (/) +o A))
21		nna0r 5996	. . . . . . . 8 |- (B e. om -> ( (/) +o B) = B)
22	21	eqcomd 2042	. . . . . . 7 |- (B e. om -> B = ( (/) +o B))
23	22	adantl 262	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om) -> B = ( (/) +o B))
24	20, 23	sseq12d 2968	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A C_ B <-> ( (/) +o A) C_ ( (/) +o B)))
25		nnacl 5998	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ A e. om) -> (y +o A) e. om)
26	25	3adant3 923	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> (y +o A) e. om)
27		nnacl 5998	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (y +o B) e. om)
28	27	3adant2 922	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> (y +o B) e. om)
29		nnsucsssuc 6010	. . . . . . . . . 10 |- (((y +o A) e. om /\ (y +o B) e. om) -> ((y +o A) C_ (y +o B) <-> suc (y +o A) C_ suc (y +o B)))
30	26, 28, 29	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> ((y +o A) C_ (y +o B) <-> suc (y +o A) C_ suc (y +o B)))
31		nnasuc 5994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = suc (A +o y))
32		peano2 4261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. om -> suc y e. om)
33		nnacom 6002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. om /\ suc y e. om) -> (A +o suc y) = ( suc y +o A))
34	32, 33	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = ( suc y +o A))
35		nnacom 6002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o y) = (y +o A))
36		suceq 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A +o y) = (y +o A) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. om /\ y e. om) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
38	31, 34, 37	3eqtr3rd 2078	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ y e. om) -> suc (y +o A) = ( suc y +o A))
39	38	ancoms 255	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ A e. om) -> suc (y +o A) = ( suc y +o A))
40	39	3adant3 923	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> suc (y +o A) = ( suc y +o A))
41		nnasuc 5994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B +o suc y) = suc (B +o y))
42		nnacom 6002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. om /\ suc y e. om) -> (B +o suc y) = ( suc y +o B))
43	32, 42	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B +o suc y) = ( suc y +o B))
44		nnacom 6002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B +o y) = (y +o B))
45		suceq 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B +o y) = (y +o B) -> suc (B +o y) = suc (y +o B))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. om /\ y e. om) -> suc (B +o y) = suc (y +o B))
47	41, 43, 46	3eqtr3rd 2078	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. om /\ y e. om) -> suc (y +o B) = ( suc y +o B))
48	47	ancoms 255	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ B e. om) -> suc (y +o B) = ( suc y +o B))
49	48	3adant2 922	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> suc (y +o B) = ( suc y +o B))
50	40, 49	sseq12d 2968	. . . . . . . . 9 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> ( suc (y +o A) C_ suc (y +o B) <-> ( suc y +o A) C_ ( suc y +o B)))
51	30, 50	bitrd 177	. . . . . . . 8 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> ((y +o A) C_ (y +o B) <-> ( suc y +o A) C_ ( suc y +o B)))
52	51	bibi2d 221	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> ((A C_ B <-> (y +o A) C_ (y +o B)) <-> (A C_ B <-> ( suc y +o A) C_ ( suc y +o B))))
53	52	biimpd 132	. . . . . 6 |- ((y e. om /\ A e. om /\ B e. om) -> ((A C_ B <-> (y +o A) C_ (y +o B)) -> (A C_ B <-> ( suc y +o A) C_ ( suc y +o B))))
54	53	3expib 1106	. . . . 5 |- (y e. om -> ((A e. om /\ B e. om) -> ((A C_ B <-> (y +o A) C_ (y +o B)) -> (A C_ B <-> ( suc y +o A) C_ ( suc y +o B)))))
55	9, 13, 17, 24, 54	finds2 4267	. . . 4 |- (x e. om -> ((A e. om /\ B e. om) -> (A C_ B <-> (x +o A) C_ (x +o B))))
56	5, 55	vtoclga 2613	. . 3 |- ( C e. om -> ((A e. om /\ B e. om) -> (A C_ B <-> ( C +o A) C_ ( C +o B))))
57	56	impcom 116	. 2 |- (((A e. om /\ B e. om) /\ C e. om) -> (A C_ B <-> ( C +o A) C_ ( C +o B)))
58	57	3impa 1098	1 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A C_ B <-> ( C +o A) C_ ( C +o B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   C_ wss 2911   (/)c0 3218   suc csuc 4068   omcom 4256  (class class class)co 5455   +o coa 5937

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944

This theorem is referenced by:  nnacan  6021  nnawordi  6024