ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaword Unicode version

Theorem nnaword 6020
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword  om  om  C  om  C_  C  +o  C_  C  +o

Proof of Theorem nnaword
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5462 . . . . . . 7  C  +o  C  +o
2 oveq1 5462 . . . . . . 7  C  +o  C  +o
31, 2sseq12d 2968 . . . . . 6  C  +o  C_  +o  C  +o  C_  C  +o
43bibi2d 221 . . . . 5  C  C_  +o  C_  +o  C_  C  +o  C_  C  +o
54imbi2d 219 . . . 4  C  om  om  C_  +o  C_  +o  om  om  C_  C  +o  C_  C  +o
6 oveq1 5462 . . . . . . 7  (/)  +o  (/)  +o
7 oveq1 5462 . . . . . . 7  (/)  +o  (/)  +o
86, 7sseq12d 2968 . . . . . 6  (/)  +o  C_  +o  (/)  +o  C_  (/)  +o
98bibi2d 221 . . . . 5  (/)  C_  +o  C_  +o  C_  (/)  +o  C_  (/)  +o
10 oveq1 5462 . . . . . . 7  +o  +o
11 oveq1 5462 . . . . . . 7  +o  +o
1210, 11sseq12d 2968 . . . . . 6  +o  C_  +o  +o  C_  +o
1312bibi2d 221 . . . . 5  C_  +o  C_  +o  C_  +o  C_  +o
14 oveq1 5462 . . . . . . 7  suc  +o  suc  +o
15 oveq1 5462 . . . . . . 7  suc  +o  suc  +o
1614, 15sseq12d 2968 . . . . . 6  suc  +o  C_  +o  suc  +o  C_  suc  +o
1716bibi2d 221 . . . . 5  suc  C_  +o  C_  +o 
C_  suc  +o 
C_  suc  +o
18 nna0r 5996 . . . . . . . 8  om  (/) 
+o
1918eqcomd 2042 . . . . . . 7  om  (/)  +o
2019adantr 261 . . . . . 6  om  om  (/)  +o
21 nna0r 5996 . . . . . . . 8  om  (/) 
+o
2221eqcomd 2042 . . . . . . 7  om  (/)  +o
2322adantl 262 . . . . . 6  om  om  (/)  +o
2420, 23sseq12d 2968 . . . . 5  om  om  C_  (/)  +o 
C_  (/)  +o
25 nnacl 5998 . . . . . . . . . . 11  om  om  +o  om
26253adant3 923 . . . . . . . . . 10  om  om  om  +o 
om
27 nnacl 5998 . . . . . . . . . . 11  om  om  +o  om
28273adant2 922 . . . . . . . . . 10  om  om  om  +o 
om
29 nnsucsssuc 6010 . . . . . . . . . 10  +o  om  +o 
om  +o  C_  +o  suc  +o  C_  suc  +o
3026, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . . 9  om  om  om  +o  C_  +o  suc  +o  C_  suc  +o
31 nnasuc 5994 . . . . . . . . . . . . 13  om  om  +o  suc  suc  +o
32 peano2 4261 . . . . . . . . . . . . . 14  om  suc  om
33 nnacom 6002 . . . . . . . . . . . . . 14  om  suc  om  +o  suc  suc  +o
3432, 33sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13  om  om  +o  suc  suc  +o
35 nnacom 6002 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  +o  +o
36 suceq 4105 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  +o  suc  +o 
suc  +o
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  om  om  suc  +o  suc  +o
3831, 34, 373eqtr3rd 2078 . . . . . . . . . . . 12  om  om  suc  +o  suc  +o
3938ancoms 255 . . . . . . . . . . 11  om  om  suc  +o  suc  +o
40393adant3 923 . . . . . . . . . 10  om  om  om  suc  +o  suc  +o
41 nnasuc 5994 . . . . . . . . . . . . 13  om  om  +o  suc  suc  +o
42 nnacom 6002 . . . . . . . . . . . . . 14  om  suc  om  +o  suc  suc  +o
4332, 42sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13  om  om  +o  suc  suc  +o
44 nnacom 6002 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  +o  +o
45 suceq 4105 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  +o  suc  +o 
suc  +o
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  om  om  suc  +o  suc  +o
4741, 43, 463eqtr3rd 2078 . . . . . . . . . . . 12  om  om  suc  +o  suc  +o
4847ancoms 255 . . . . . . . . . . 11  om  om  suc  +o  suc  +o
49483adant2 922 . . . . . . . . . 10  om  om  om  suc  +o  suc  +o
5040, 49sseq12d 2968 . . . . . . . . 9  om  om  om  suc  +o  C_  suc  +o  suc  +o 
C_  suc  +o
5130, 50bitrd 177 . . . . . . . 8  om  om  om  +o  C_  +o  suc  +o  C_  suc  +o
5251bibi2d 221 . . . . . . 7  om  om  om  C_  +o  C_  +o  C_  suc  +o  C_  suc  +o
5352biimpd 132 . . . . . 6  om  om  om  C_  +o  C_  +o  C_  suc  +o 
C_  suc  +o
54533expib 1106 . . . . 5  om  om  om  C_  +o  C_  +o  C_  suc  +o 
C_  suc  +o
559, 13, 17, 24, 54finds2 4267 . . . 4  om  om  om  C_  +o  C_  +o
565, 55vtoclga 2613 . . 3  C  om  om  om  C_  C  +o  C_  C  +o
5756impcom 116 . 2  om  om  C  om  C_  C  +o  C_  C  +o
58573impa 1098 1  om  om  C  om  C_  C  +o  C_  C  +o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    C_ wss 2911   (/)c0 3218   suc csuc 4068   omcom 4256  (class class class)co 5455    +o coa 5937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944
This theorem is referenced by:  nnacan  6021  nnawordi  6024
  Copyright terms: Public domain W3C validator