ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  onsucsssucexmid Structured version   Unicode version

Theorem onsucsssucexmid 4212
Description: The converse of onsucsssucr 4200 implies excluded middle. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsssucexmid.1  On  On  C_  suc  C_  suc
Assertion
Ref Expression
onsucsssucexmid
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem onsucsssucexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3019 . . . . . 6  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }
2 ordtriexmidlem 4208 . . . . . . 7  {  { (/) }  |  }  On
3 sseq1 2960 . . . . . . . . 9  { 
{ (/) }  |  }  C_  {
(/) }  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }
4 suceq 4105 . . . . . . . . . 10  { 
{ (/) }  |  }  suc 
suc  {  { (/)
}  |  }
54sseq1d 2966 . . . . . . . . 9  { 
{ (/) }  |  }  suc  C_ 
suc  { (/) }  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
63, 5imbi12d 223 . . . . . . . 8  { 
{ (/) }  |  } 
C_  { (/) }  suc  C_  suc  { (/) }  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }  suc 
{  { (/)
}  |  }  C_ 
suc  { (/) }
7 suc0 4114 . . . . . . . . . 10  suc  (/)  { (/)
}
8 0elon 4095 . . . . . . . . . . 11  (/)  On
98onsuci 4207 . . . . . . . . . 10  suc  (/)  On
107, 9eqeltrri 2108 . . . . . . . . 9  { (/) }  On
11 p0ex 3930 . . . . . . . . . 10  { (/) }  _V
12 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  On  { (/) }  On
1312anbi2d 437 . . . . . . . . . . 11  { (/) }  On  On  On 
{ (/) }  On
14 sseq2 2961 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  C_  C_  {
(/) }
15 suceq 4105 . . . . . . . . . . . . 13  { (/) }  suc  suc  { (/)
}
1615sseq2d 2967 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  suc  C_  suc  suc  C_  suc  {
(/) }
1714, 16imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11  { (/) }  C_  suc  C_  suc  C_ 
{ (/) }  suc  C_  suc  { (/) }
1813, 17imbi12d 223 . . . . . . . . . 10  { (/) }  On  On  C_  suc  C_  suc  On  { (/)
}  On  C_  { (/) }  suc  C_  suc  {
(/) }
19 onsucsssucexmid.1 . . . . . . . . . . 11  On  On  C_  suc  C_  suc
2019rspec2 2402 . . . . . . . . . 10  On  On  C_  suc  C_  suc
2111, 18, 20vtocl 2602 . . . . . . . . 9  On  {
(/) }  On  C_  {
(/) }  suc  C_ 
suc  { (/) }
2210, 21mpan2 401 . . . . . . . 8  On  C_  { (/) }  suc  C_  suc  { (/) }
236, 22vtoclga 2613 . . . . . . 7  {  { (/) }  |  }  On  {  { (/)
}  |  }  C_ 
{ (/) }  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
242, 23ax-mp 7 . . . . . 6  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }  suc 
{  { (/)
}  |  }  C_ 
suc  { (/) }
251, 24ax-mp 7 . . . . 5  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
2610onsuci 4207 . . . . . . 7  suc  { (/)
}  On
2726onordi 4129 . . . . . 6  Ord  suc  {
(/) }
28 ordelsuc 4197 . . . . . 6  {  { (/)
}  |  }  On  Ord  suc  {
(/) }  {  { (/) }  |  }  suc  { (/) }  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
292, 27, 28mp2an 402 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  suc  { (/)
}  suc  { 
{ (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
3025, 29mpbir 134 . . . 4  {  { (/) }  |  }  suc  { (/)
}
31 elsucg 4107 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  On  {  { (/)
}  |  }  suc  { (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }
322, 31ax-mp 7 . . . 4  {  { (/) }  |  }  suc  { (/)
}  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }
3330, 32mpbi 133 . . 3  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }
34 elsni 3391 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  (/)
35 ordtriexmidlem2 4209 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  (/)
3634, 35syl 14 . . . 4  {  { (/) }  |  }  { (/) }
37 0ex 3875 . . . . 5  (/)  _V
38 biidd 161 . . . . 5  (/)
3937, 38rabsnt 3436 . . . 4  {  { (/) }  |  }  { (/) }
4036, 39orim12i 675 . . 3  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }
4133, 40ax-mp 7 . 2
42 orcom 646 . 2
4341, 42mpbi 133 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   {crab 2304    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   Ord word 4065   Oncon0 4066   suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator