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Theorem onsucsssucexmid 4196
Description: The converse of onsucsssucr 4184 implies excluded middle. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsssucexmid.1  On  On  C_  suc  C_  suc
Assertion
Ref Expression
onsucsssucexmid
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem onsucsssucexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3002 . . . . . 6  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }
2 ordtriexmidlem 4192 . . . . . . 7  {  { (/) }  |  }  On
3 sseq1 2943 . . . . . . . . 9  { 
{ (/) }  |  }  C_  {
(/) }  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }
4 suceq 4088 . . . . . . . . . 10  { 
{ (/) }  |  }  suc 
suc  {  { (/)
}  |  }
54sseq1d 2949 . . . . . . . . 9  { 
{ (/) }  |  }  suc  C_ 
suc  { (/) }  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
63, 5imbi12d 223 . . . . . . . 8  { 
{ (/) }  |  } 
C_  { (/) }  suc  C_  suc  { (/) }  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }  suc 
{  { (/)
}  |  }  C_ 
suc  { (/) }
7 suc0 4097 . . . . . . . . . 10  suc  (/)  { (/)
}
8 0elon 4078 . . . . . . . . . . 11  (/)  On
98onsuci 4191 . . . . . . . . . 10  suc  (/)  On
107, 9eqeltrri 2093 . . . . . . . . 9  { (/) }  On
11 p0ex 3913 . . . . . . . . . 10  { (/) }  _V
12 eleq1 2082 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  On  { (/) }  On
1312anbi2d 440 . . . . . . . . . . 11  { (/) }  On  On  On 
{ (/) }  On
14 sseq2 2944 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  C_  C_  {
(/) }
15 suceq 4088 . . . . . . . . . . . . 13  { (/) }  suc  suc  { (/)
}
1615sseq2d 2950 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  suc  C_  suc  suc  C_  suc  {
(/) }
1714, 16imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11  { (/) }  C_  suc  C_  suc  C_ 
{ (/) }  suc  C_  suc  { (/) }
1813, 17imbi12d 223 . . . . . . . . . 10  { (/) }  On  On  C_  suc  C_  suc  On  { (/)
}  On  C_  { (/) }  suc  C_  suc  {
(/) }
19 onsucsssucexmid.1 . . . . . . . . . . 11  On  On  C_  suc  C_  suc
2019rspec2 2386 . . . . . . . . . 10  On  On  C_  suc  C_  suc
2111, 18, 20vtocl 2585 . . . . . . . . 9  On  {
(/) }  On  C_  {
(/) }  suc  C_ 
suc  { (/) }
2210, 21mpan2 403 . . . . . . . 8  On  C_  { (/) }  suc  C_  suc  { (/) }
236, 22vtoclga 2596 . . . . . . 7  {  { (/) }  |  }  On  {  { (/)
}  |  }  C_ 
{ (/) }  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
242, 23ax-mp 7 . . . . . 6  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }  suc 
{  { (/)
}  |  }  C_ 
suc  { (/) }
251, 24ax-mp 7 . . . . 5  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
2610onsuci 4191 . . . . . . 7  suc  { (/)
}  On
2726onordi 4113 . . . . . 6  Ord  suc  {
(/) }
28 ordelsuc 4181 . . . . . 6  {  { (/)
}  |  }  On  Ord  suc  {
(/) }  {  { (/) }  |  }  suc  { (/) }  suc  {  { (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
292, 27, 28mp2an 404 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  suc  { (/)
}  suc  { 
{ (/) }  |  }  C_  suc  { (/) }
3025, 29mpbir 134 . . . 4  {  { (/) }  |  }  suc  { (/)
}
31 elsucg 4090 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  On  {  { (/)
}  |  }  suc  { (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }
322, 31ax-mp 7 . . . 4  {  { (/) }  |  }  suc  { (/)
}  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }
3330, 32mpbi 133 . . 3  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }
34 elsni 3374 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  (/)
35 ordtriexmidlem2 4193 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  (/)
3634, 35syl 14 . . . 4  {  { (/) }  |  }  { (/) }
37 0ex 3858 . . . . 5  (/)  _V
38 biidd 161 . . . . 5  (/)
3937, 38rabsnt 3419 . . . 4  {  { (/) }  |  }  { (/) }
4036, 39orim12i 663 . . 3  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }
4133, 40ax-mp 7 . 2
42 orcom 634 . 2
4341, 42mpbi 133 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 616   wceq 1228   wcel 1374  wral 2284   {crab 2288    C_ wss 2894   (/)c0 3201   {csn 3350   Ord word 4048   Oncon0 4049   suc csuc 4051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-rab 2293  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-tr 3829  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057
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