Theorem ordtri2or2exmidlem 4251

Description: A set which is 2o if ph or (/) if -. ph is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmidlem	|- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem ordtri2or2exmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. z )
2		noel 3228	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
3		eleq2 2101	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
4	2, 3	mtbiri 600	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
5	4	adantl 262	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> -. y e. z )
6	1, 5	pm2.21dd 550	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
7		eleq2 2101	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> ( y e. z <-> y e. { (/) } ) )
8	7	biimpac 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) } )
9		velsn 3392	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
10	8, 9	sylib 127	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y = (/) )
11		orc 633	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
12		vex 2560	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
13	12	elpr 3396	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) , { (/) } } <-> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
14	11, 13	sylibr 137	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> y e. { (/) , { (/) } } )
15	10, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
16	15	adantlr 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
17		biidd 161	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> ph ) )
18	17	elrab 2698	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( z e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
19	18	simprbi 260	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
20	19	ad2antlr 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> ph )
21		biidd 161	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2698	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( y e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
23	16, 20, 22	sylanbrc 394	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
24		elrabi 2695	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> z e. { (/) , { (/) } } )
25		vex 2560	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
26	25	elpr 3396	. . . . . . . 8 |- ( z e. { (/) , { (/) } } <-> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
27	24, 26	sylib 127	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
28	27	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
29	6, 23, 28	mpjaodan 711	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30	29	gen2 1339	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
31		dftr2 3856	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
32	30, 31	mpbir 134	. . 3 |- Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
33		ssrab2 3025	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } }
34		2ordpr 4249	. . 3 |- Ord { (/) , { (/) } }
35		trssord 4117	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } /\ { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } } /\ Ord { (/) , { (/) } } ) -> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1232	. 2 |- Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
37		pp0ex 3940	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } e. _V
38	37	rabex 3901	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. _V
39	38	elon 4111	. 2 |- ( { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
40	36, 39	mpbir 134	1 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   {crab 2310   C_ wss 2917   (/)c0 3224   {csn 3375   {cpr 3376   Tr wtr 3854   Ord word 4099   Oncon0 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108

This theorem is referenced by:  ordtri2or2exmid  4296