Theorem elrab 2698

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 21-May-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
elrab	|- ( A e. { x e. B | ph } <-> ( A e. B /\ ps ) )

Distinct variable groups:   ps, x   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem elrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2178	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2178	. 2 |- F/_ x B
3		nfv 1421	. 2 |- F/ x ps
4		elrab.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	elrabf 2696	1 |- ( A e. { x e. B | ph } <-> ( A e. B /\ ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   {crab 2310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rab 2315  df-v 2559

This theorem is referenced by:  elrab3  2699  elrab2  2700  ralrab  2702  rexrab  2704  rabsnt  3445  unimax  3614  ssintub  3633  intminss  3640  rabxfrd  4201  ordtri2or2exmidlem  4251  onsucelsucexmidlem1  4253  sefvex  5196  ssimaex  5234  acexmidlem2  5509  ssfiexmid  6336  diffitest  6344  caucvgprlemladdfu  6775  caucvgprlemladdrl  6776  nnindnn  6967  nnind  7930  peano2uz2  8345  peano5uzti  8346  dfuzi  8348  uzind  8349  uzind3  8351  eluz1  8477  uzind4  8531  eqreznegel  8549  elixx1  8766  elioo2  8790  elfz1  8879  serige0  9252  expcl2lemap  9267  expclzaplem  9279  expclzap  9280  expap0i  9287  expge0  9291  expge1  9292  shftf  9431