Theorem elfz1 8879

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 8876	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } )
2	1	eleq2d 2107	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } ) )
3		breq2 3768	. . . . 5 |- ( j = K -> ( M <_ j <-> M <_ K ) )
4		breq1 3767	. . . . 5 |- ( j = K -> ( j <_ N <-> K <_ N ) )
5	3, 4	anbi12d 442	. . . 4 |- ( j = K -> ( ( M <_ j /\ j <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	elrab 2698	. . 3 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		3anass 889	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	6, 7	bitr4i 176	. 2 |- ( K e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ j <_ N ) } <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) )
9	2, 8	syl6bb 185	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   {crab 2310   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   <_ cle 7061   ZZcz 8245   ...cfz 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-neg 7185  df-z 8246  df-fz 8875

This theorem is referenced by:  elfz  8880  elfz2  8881  fzen  8907  fzaddel  8922  elfzm11  8953  fznn0  8974