ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnind Structured version   Unicode version

Theorem nnind 7711
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 7715 for an example of its use. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
nnind.1  1
nnind.2
nnind.3  + 
1
nnind.4
nnind.5
nnind.6  NN
Assertion
Ref Expression
nnind  NN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem nnind
StepHypRef Expression
1 1nn 7706 . . . . . 6  1  NN
2 nnind.5 . . . . . 6
3 nnind.1 . . . . . . 7  1
43elrab 2692 . . . . . 6  1  {  NN  |  }  1  NN
51, 2, 4mpbir2an 848 . . . . 5  1  {  NN  |  }
6 elrabi 2689 . . . . . . 7  {  NN  |  }  NN
7 peano2nn 7707 . . . . . . . . . 10  NN  +  1  NN
87a1d 22 . . . . . . . . 9  NN  NN  +  1  NN
9 nnind.6 . . . . . . . . 9  NN
108, 9anim12d 318 . . . . . . . 8  NN  NN  +  1  NN
11 nnind.2 . . . . . . . . 9
1211elrab 2692 . . . . . . . 8  {  NN  |  }  NN
13 nnind.3 . . . . . . . . 9  + 
1
1413elrab 2692 . . . . . . . 8  +  1  {  NN  |  }  +  1  NN
1510, 12, 143imtr4g 194 . . . . . . 7  NN  {  NN  |  }  +  1  {  NN  |  }
166, 15mpcom 32 . . . . . 6  {  NN  |  }  +  1  {  NN  |  }
1716rgen 2368 . . . . 5  {  NN  |  }  +  1 
{  NN  |  }
18 peano5nni 7698 . . . . 5  1  {  NN  |  }  {  NN  |  }  + 
1  {  NN  |  }  NN  C_ 
{  NN  |  }
195, 17, 18mp2an 402 . . . 4  NN  C_  {  NN  |  }
2019sseli 2935 . . 3  NN  {  NN  |  }
21 nnind.4 . . . 4
2221elrab 2692 . . 3  {  NN  |  }  NN
2320, 22sylib 127 . 2  NN  NN
2423simprd 107 1  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   {crab 2304    C_ wss 2911  (class class class)co 5455   1c1 6712    + caddc 6714   NNcn 7695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-inn 7696
This theorem is referenced by:  nnindALT  7712  nn1m1nn  7713  nnaddcl  7715  nnmulcl  7716  nnge1  7718  nn1gt1  7728  nnsub  7733  zaddcllempos  8058  zaddcllemneg  8060  nneoor  8116  peano5uzti  8122  nn0ind-raph  8131  indstr  8312  expivallem  8910  expcllem  8920  expap0  8939
  Copyright terms: Public domain W3C validator