Theorem dfuzi 8348

Description: An expression for the upper integers that start at N that is analogous to dfnn2 7916 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuz.1	|- N e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	|- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 3632	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x ) )
2		dfuz.1	. . . 4 |- N e. ZZ
3	2	peano5uzi 8347	. . 3 |- ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x )
4	1, 3	mpgbir 1342	. 2 |- { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
5	2	zrei 8251	. . . . . 6 |- N e. RR
6	5	leidi 7477	. . . . 5 |- N <_ N
7		breq2 3768	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( N <_ z <-> N <_ N ) )
8	7	elrab 2698	. . . . 5 |- ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } <-> ( N e. ZZ /\ N <_ N ) )
9	2, 6, 8	mpbir2an 849	. . . 4 |- N e. { z e. ZZ | N <_ z }
10		peano2uz2 8345	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. { z e. ZZ | N <_ z } ) -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
11	2, 10	mpan 400	. . . . 5 |- ( y e. { z e. ZZ | N <_ z } -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
12	11	rgen 2374	. . . 4 |- A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z }
13		zex 8254	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
14	13	rabex 3901	. . . . 5 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. _V
15		eleq2 2101	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( N e. x <-> N e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
16		eleq2 2101	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
17	16	raleqbi1dv 2513	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
18	15, 17	anbi12d 442	. . . . 5 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) ) )
19	14, 18	elab 2687	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
20	9, 12, 19	mpbir2an 849	. . 3 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
21		intss1 3630	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z } )
22	20, 21	ax-mp 7	. 2 |- |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z }
23	4, 22	eqssi 2961	1 |- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   {crab 2310   C_ wss 2917   |^|cint 3615   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   1c1 6890   + caddc 6892   <_ cle 7061   ZZcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by: (None)