Theorem ssfiexmid 6336

Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfiexmid.1	|- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ssfiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmid

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3884	. . . . 5 |- (/) e. _V
2		snfig 6291	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- { (/) } e. Fin
4		ssrab2 3025	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
5		ssfiexmid.1	. . . . . 6 |- A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin )
6		p0ex 3939	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
7		eleq1 2100	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
8		sseq2 2967	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { (/) } -> ( y C_ x <-> y C_ { (/) } ) )
9	7, 8	anbi12d 442	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) ) )
10	9	imbi1d 220	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
11	10	albidv 1705	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
12	6, 11	spcv 2646	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
13	5, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin )
14	6	rabex 3901	. . . . . 6 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
15		sseq1 2966	. . . . . . . 8 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
16	15	anbi2d 437	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) ) )
17		eleq1 2100	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
18	16, 17	imbi12d 223	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
19	14, 18	spcv 2646	. . . . 5 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
20	13, 19	ax-mp 7	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
21	3, 4, 20	mp2an 402	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
22		isfi 6241	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n )
23	21, 22	mpbi 133	. 2 |- E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n
24		0elnn 4340	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
25		breq2 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) ) )
26		en0 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
27	25, 26	syl6bb 185	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
28	27	biimpac 282	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
29		rabeq0 3247	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ph )
30	1	snm 3488	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
31		r19.3rmv 3312	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph ) )
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph )
33	29, 32	bitr4i 176	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> -. ph )
34	28, 33	sylib 127	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ph )
35	34	olcd 653	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
36		ensym 6261	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ph } )
37		elex2 2570	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
38		enm 6294	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ph } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
39	36, 37, 38	syl2an 273	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
40		biidd 161	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ph <-> ph ) )
41	40	elrab 2698	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> ( y e. { (/) } /\ ph ) )
42	41	simprbi 260	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
43	42	orcd 652	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
44	43	exlimiv 1489	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
45	39, 44	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
46	35, 45	jaodan 710	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
47	24, 46	sylan2 270	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ph \/ -. ph ) )
48	47	ancoms 255	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ph } ~~ n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
49	48	rexlimiva 2428	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> ( ph \/ -. ph ) )
50	23, 49	ax-mp 7	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   {crab 2310   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   (/)c0 3224   {csn 3375   class class class wbr 3764   omcom 4313   ~~ cen 6219   Fincfn 6221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-er 6106  df-en 6222  df-fin 6224

This theorem is referenced by: (None)