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Theorem ssfiexmid 6254
Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfiexmid.1  Fin  C_  Fin
Assertion
Ref Expression
ssfiexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem ssfiexmid
Dummy variables  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . 5  (/)  _V
2 snfig 6227 . . . . 5  (/)  _V  { (/) }  Fin
31, 2ax-mp 7 . . . 4  { (/) }  Fin
4 ssrab2 3019 . . . 4  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }
5 ssfiexmid.1 . . . . . 6  Fin  C_  Fin
6 p0ex 3930 . . . . . . 7  { (/) }  _V
7 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  { (/) }  Fin  {
(/) }  Fin
8 sseq2 2961 . . . . . . . . . 10  { (/) }  C_  C_  {
(/) }
97, 8anbi12d 442 . . . . . . . . 9  { (/) }  Fin  C_  { (/) }  Fin  C_  { (/) }
109imbi1d 220 . . . . . . . 8  { (/) } 
Fin  C_  Fin  { (/) }  Fin  C_ 
{ (/) }  Fin
1110albidv 1702 . . . . . . 7  { (/) }  Fin  C_  Fin  { (/)
}  Fin  C_  { (/) }  Fin
126, 11spcv 2640 . . . . . 6  Fin  C_  Fin  { (/) }  Fin  C_  { (/) }  Fin
135, 12ax-mp 7 . . . . 5  { (/) }  Fin  C_  { (/) } 
Fin
146rabex 3892 . . . . . 6  {  { (/) }  |  }  _V
15 sseq1 2960 . . . . . . . 8  { 
{ (/) }  |  }  C_  {
(/) }  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }
1615anbi2d 437 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  }  { (/)
}  Fin  C_  { (/) }  { (/) }  Fin  { 
{ (/) }  |  }  C_  { (/) }
17 eleq1 2097 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  } 
Fin  {  { (/)
}  |  }  Fin
1816, 17imbi12d 223 . . . . . 6  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }  Fin  C_  { (/) }  Fin  { (/) }  Fin  { 
{ (/) }  |  }  C_  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  Fin
1914, 18spcv 2640 . . . . 5  { (/) }  Fin  C_ 
{ (/) }  Fin  { (/) }  Fin  {  { (/) }  |  }  C_  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  Fin
2013, 19ax-mp 7 . . . 4  { (/) }  Fin 
{  { (/)
}  |  }  C_ 
{ (/) }  {  { (/) }  |  }  Fin
213, 4, 20mp2an 402 . . 3  {  { (/) }  |  }  Fin
22 isfi 6177 . . 3  {  { (/) }  |  }  Fin  n  om  { 
{ (/) }  |  }  ~~  n
2321, 22mpbi 133 . 2  n  om  { 
{ (/) }  |  }  ~~  n
24 0elnn 4283 . . . . 5  n  om  n  (/)  (/)  n
25 breq2 3759 . . . . . . . . . 10  n  (/)  {  { (/) }  |  }  ~~  n  {  { (/)
}  |  }  ~~  (/)
26 en0 6211 . . . . . . . . . 10  {  { (/) }  |  }  ~~  (/)  {  { (/) }  |  }  (/)
2725, 26syl6bb 185 . . . . . . . . 9  n  (/)  {  { (/) }  |  }  ~~  n  {  { (/)
}  |  }  (/)
2827biimpac 282 . . . . . . . 8  {  { (/)
}  |  }  ~~  n  n  (/)  {  { (/) }  |  }  (/)
29 rabeq0 3241 . . . . . . . . 9  {  { (/) }  |  }  (/)  { (/) }
301snm 3479 . . . . . . . . . 10  { (/) }
31 r19.3rmv 3306 . . . . . . . . . 10  { (/) }  { (/) }
3230, 31ax-mp 7 . . . . . . . . 9  { (/) }
3329, 32bitr4i 176 . . . . . . . 8  {  { (/) }  |  }  (/)
3428, 33sylib 127 . . . . . . 7  {  { (/)
}  |  }  ~~  n  n  (/)
3534olcd 652 . . . . . 6  {  { (/)
}  |  }  ~~  n  n  (/)
36 ensym 6197 . . . . . . . 8  {  { (/) }  |  }  ~~  n 
n  ~~  {  { (/) }  |  }
37 elex2 2564 . . . . . . . 8  (/)  n  n
38 enm 6230 . . . . . . . 8  n  ~~  {  { (/) }  |  }  n 
{  { (/)
}  |  }
3936, 37, 38syl2an 273 . . . . . . 7  {  { (/)
}  |  }  ~~  n  (/)  n  { 
{ (/) }  |  }
40 biidd 161 . . . . . . . . . . 11
4140elrab 2692 . . . . . . . . . 10  { 
{ (/) }  |  }  { (/)
}
4241simprbi 260 . . . . . . . . 9  { 
{ (/) }  |  }
4342orcd 651 . . . . . . . 8  { 
{ (/) }  |  }
4443exlimiv 1486 . . . . . . 7  {  { (/) }  |  }
4539, 44syl 14 . . . . . 6  {  { (/)
}  |  }  ~~  n  (/)  n
4635, 45jaodan 709 . . . . 5  {  { (/)
}  |  }  ~~  n  n  (/)  (/)  n
4724, 46sylan2 270 . . . 4  {  { (/)
}  |  }  ~~  n  n  om
4847ancoms 255 . . 3  n  om  {  { (/) }  |  }  ~~  n
4948rexlimiva 2422 . 2  n  om  {  { (/) }  |  }  ~~  n
5023, 49ax-mp 7 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   class class class wbr 3755   omcom 4256    ~~ cen 6155   Fincfn 6157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-1o 5940  df-er 6042  df-en 6158  df-fin 6160
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