Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfiexmid Unicode version

Theorem ssfiexmid 6336
 Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfiexmid.1
Assertion
Ref Expression
ssfiexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem ssfiexmid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3884 . . . . 5
2 snfig 6291 . . . . 5
31, 2ax-mp 7 . . . 4
4 ssrab2 3025 . . . 4
5 ssfiexmid.1 . . . . . 6
6 p0ex 3939 . . . . . . 7
7 eleq1 2100 . . . . . . . . . 10
8 sseq2 2967 . . . . . . . . . 10
97, 8anbi12d 442 . . . . . . . . 9
109imbi1d 220 . . . . . . . 8
1110albidv 1705 . . . . . . 7
126, 11spcv 2646 . . . . . 6
135, 12ax-mp 7 . . . . 5
146rabex 3901 . . . . . 6
15 sseq1 2966 . . . . . . . 8
1615anbi2d 437 . . . . . . 7
17 eleq1 2100 . . . . . . 7
1816, 17imbi12d 223 . . . . . 6
1914, 18spcv 2646 . . . . 5
2013, 19ax-mp 7 . . . 4
213, 4, 20mp2an 402 . . 3
22 isfi 6241 . . 3
2321, 22mpbi 133 . 2
24 0elnn 4340 . . . . 5
25 breq2 3768 . . . . . . . . . 10
26 en0 6275 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl6bb 185 . . . . . . . . 9
2827biimpac 282 . . . . . . . 8
29 rabeq0 3247 . . . . . . . . 9
301snm 3488 . . . . . . . . . 10
31 r19.3rmv 3312 . . . . . . . . . 10
3230, 31ax-mp 7 . . . . . . . . 9
3329, 32bitr4i 176 . . . . . . . 8
3428, 33sylib 127 . . . . . . 7
3534olcd 653 . . . . . 6
36 ensym 6261 . . . . . . . 8
37 elex2 2570 . . . . . . . 8
38 enm 6294 . . . . . . . 8
3936, 37, 38syl2an 273 . . . . . . 7
40 biidd 161 . . . . . . . . . . 11
4140elrab 2698 . . . . . . . . . 10
4241simprbi 260 . . . . . . . . 9
4342orcd 652 . . . . . . . 8
4443exlimiv 1489 . . . . . . 7
4539, 44syl 14 . . . . . 6
4635, 45jaodan 710 . . . . 5
4724, 46sylan2 270 . . . 4
4847ancoms 255 . . 3
4948rexlimiva 2428 . 2
5023, 49ax-mp 7 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 629  wal 1241   wceq 1243  wex 1381   wcel 1393  wral 2306  wrex 2307  crab 2310  cvv 2557   wss 2917  c0 3224  csn 3375   class class class wbr 3764  com 4313   cen 6219  cfn 6221 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-er 6106  df-en 6222  df-fin 6224 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator