ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en0 Structured version   Unicode version

Theorem en0 6211
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0 
~~  (/)  (/)

Proof of Theorem en0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6164 . . 3 
~~  (/)  : -1-1-onto-> (/)
2 f1ocnv 5082 . . . . 5  : -1-1-onto-> (/)  `' : (/)
-1-1-onto->
3 f1o00 5104 . . . . . 6  `' : (/) -1-1-onto->  `'  (/)  (/)
43simprbi 260 . . . . 5  `' : (/) -1-1-onto->  (/)
52, 4syl 14 . . . 4  : -1-1-onto-> (/)  (/)
65exlimiv 1486 . . 3  : -1-1-onto-> (/)  (/)
71, 6sylbi 114 . 2 
~~  (/)  (/)
8 0ex 3875 . . . 4  (/)  _V
98enref 6181 . . 3  (/)  ~~  (/)
10 breq1 3758 . . 3  (/)  ~~  (/)  (/)  ~~  (/)
119, 10mpbiri 157 . 2  (/)  ~~  (/)
127, 11impbii 117 1 
~~  (/)  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 98   wceq 1242  wex 1378   (/)c0 3218   class class class wbr 3755   `'ccnv 4287   -1-1-onto->wf1o 4844    ~~ cen 6155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-en 6158
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6254
  Copyright terms: Public domain W3C validator