Theorem en0 6275

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	|- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem en0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6228	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> E. f f : A -1-1-onto-> (/) )
2		f1ocnv 5139	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> (/) -> `' f : (/) -1-1-onto-> A )
3		f1o00 5161	. . . . . 6 |- ( `' f : (/) -1-1-onto-> A <-> ( `' f = (/) /\ A = (/) ) )
4	3	simprbi 260	. . . . 5 |- ( `' f : (/) -1-1-onto-> A -> A = (/) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> (/) -> A = (/) )
6	5	exlimiv 1489	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> (/) -> A = (/) )
7	1, 6	sylbi 114	. 2 |- ( A ~~ (/) -> A = (/) )
8		0ex 3884	. . . 4 |- (/) e. _V
9	8	enref 6245	. . 3 |- (/) ~~ (/)
10		breq1 3767	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~~ (/) <-> (/) ~~ (/) ) )
11	9, 10	mpbiri 157	. 2 |- ( A = (/) -> A ~~ (/) )
12	7, 11	impbii 117	1 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   (/)c0 3224   class class class wbr 3764   `'ccnv 4344   -1-1-onto->wf1o 4901   ~~ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-en 6222

This theorem is referenced by:  nneneq  6320  php5  6321  snnen2oprc  6323  php5dom  6325  ssfiexmid  6336  fin0  6342  fin0or  6343  diffitest  6344  findcard  6345  findcard2  6346  findcard2s  6347  diffisn  6350