ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfiexmid Structured version   GIF version

Theorem ssfiexmid 6254
Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfiexmid.1 xy((x Fin yx) → y Fin)
Assertion
Ref Expression
ssfiexmid (φ ¬ φ)
Distinct variable group:   φ,x,y

Proof of Theorem ssfiexmid
Dummy variables 𝑛 z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . 5 V
2 snfig 6227 . . . . 5 (∅ V → {∅} Fin)
31, 2ax-mp 7 . . . 4 {∅} Fin
4 ssrab2 3019 . . . 4 {z {∅} ∣ φ} ⊆ {∅}
5 ssfiexmid.1 . . . . . 6 xy((x Fin yx) → y Fin)
6 p0ex 3930 . . . . . . 7 {∅} V
7 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10 (x = {∅} → (x Fin ↔ {∅} Fin))
8 sseq2 2961 . . . . . . . . . 10 (x = {∅} → (yxy ⊆ {∅}))
97, 8anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (x = {∅} → ((x Fin yx) ↔ ({∅} Fin y ⊆ {∅})))
109imbi1d 220 . . . . . . . 8 (x = {∅} → (((x Fin yx) → y Fin) ↔ (({∅} Fin y ⊆ {∅}) → y Fin)))
1110albidv 1702 . . . . . . 7 (x = {∅} → (y((x Fin yx) → y Fin) ↔ y(({∅} Fin y ⊆ {∅}) → y Fin)))
126, 11spcv 2640 . . . . . 6 (xy((x Fin yx) → y Fin) → y(({∅} Fin y ⊆ {∅}) → y Fin))
135, 12ax-mp 7 . . . . 5 y(({∅} Fin y ⊆ {∅}) → y Fin)
146rabex 3892 . . . . . 6 {z {∅} ∣ φ} V
15 sseq1 2960 . . . . . . . 8 (y = {z {∅} ∣ φ} → (y ⊆ {∅} ↔ {z {∅} ∣ φ} ⊆ {∅}))
1615anbi2d 437 . . . . . . 7 (y = {z {∅} ∣ φ} → (({∅} Fin y ⊆ {∅}) ↔ ({∅} Fin {z {∅} ∣ φ} ⊆ {∅})))
17 eleq1 2097 . . . . . . 7 (y = {z {∅} ∣ φ} → (y Fin ↔ {z {∅} ∣ φ} Fin))
1816, 17imbi12d 223 . . . . . 6 (y = {z {∅} ∣ φ} → ((({∅} Fin y ⊆ {∅}) → y Fin) ↔ (({∅} Fin {z {∅} ∣ φ} ⊆ {∅}) → {z {∅} ∣ φ} Fin)))
1914, 18spcv 2640 . . . . 5 (y(({∅} Fin y ⊆ {∅}) → y Fin) → (({∅} Fin {z {∅} ∣ φ} ⊆ {∅}) → {z {∅} ∣ φ} Fin))
2013, 19ax-mp 7 . . . 4 (({∅} Fin {z {∅} ∣ φ} ⊆ {∅}) → {z {∅} ∣ φ} Fin)
213, 4, 20mp2an 402 . . 3 {z {∅} ∣ φ} Fin
22 isfi 6177 . . 3 ({z {∅} ∣ φ} Fin ↔ 𝑛 𝜔 {z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛)
2321, 22mpbi 133 . 2 𝑛 𝜔 {z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛
24 0elnn 4283 . . . . 5 (𝑛 𝜔 → (𝑛 = ∅ 𝑛))
25 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ∅ → ({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 ↔ {z {∅} ∣ φ} ≈ ∅))
26 en0 6211 . . . . . . . . . 10 ({z {∅} ∣ φ} ≈ ∅ ↔ {z {∅} ∣ φ} = ∅)
2725, 26syl6bb 185 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ∅ → ({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 ↔ {z {∅} ∣ φ} = ∅))
2827biimpac 282 . . . . . . . 8 (({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 𝑛 = ∅) → {z {∅} ∣ φ} = ∅)
29 rabeq0 3241 . . . . . . . . 9 ({z {∅} ∣ φ} = ∅ ↔ z {∅} ¬ φ)
301snm 3479 . . . . . . . . . 10 w w {∅}
31 r19.3rmv 3306 . . . . . . . . . 10 (w w {∅} → (¬ φz {∅} ¬ φ))
3230, 31ax-mp 7 . . . . . . . . 9 φz {∅} ¬ φ)
3329, 32bitr4i 176 . . . . . . . 8 ({z {∅} ∣ φ} = ∅ ↔ ¬ φ)
3428, 33sylib 127 . . . . . . 7 (({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 𝑛 = ∅) → ¬ φ)
3534olcd 652 . . . . . 6 (({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 𝑛 = ∅) → (φ ¬ φ))
36 ensym 6197 . . . . . . . 8 ({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛𝑛 ≈ {z {∅} ∣ φ})
37 elex2 2564 . . . . . . . 8 (∅ 𝑛x x 𝑛)
38 enm 6230 . . . . . . . 8 ((𝑛 ≈ {z {∅} ∣ φ} x x 𝑛) → y y {z {∅} ∣ φ})
3936, 37, 38syl2an 273 . . . . . . 7 (({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 𝑛) → y y {z {∅} ∣ φ})
40 biidd 161 . . . . . . . . . . 11 (z = y → (φφ))
4140elrab 2692 . . . . . . . . . 10 (y {z {∅} ∣ φ} ↔ (y {∅} φ))
4241simprbi 260 . . . . . . . . 9 (y {z {∅} ∣ φ} → φ)
4342orcd 651 . . . . . . . 8 (y {z {∅} ∣ φ} → (φ ¬ φ))
4443exlimiv 1486 . . . . . . 7 (y y {z {∅} ∣ φ} → (φ ¬ φ))
4539, 44syl 14 . . . . . 6 (({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 𝑛) → (φ ¬ φ))
4635, 45jaodan 709 . . . . 5 (({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 (𝑛 = ∅ 𝑛)) → (φ ¬ φ))
4724, 46sylan2 270 . . . 4 (({z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 𝑛 𝜔) → (φ ¬ φ))
4847ancoms 255 . . 3 ((𝑛 𝜔 {z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛) → (φ ¬ φ))
4948rexlimiva 2422 . 2 (𝑛 𝜔 {z {∅} ∣ φ} ≈ 𝑛 → (φ ¬ φ))
5023, 49ax-mp 7 1 (φ ¬ φ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  {crab 2304  Vcvv 2551  wss 2911  c0 3218  {csn 3367   class class class wbr 3755  𝜔com 4256  cen 6155  Fincfn 6157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-1o 5940  df-er 6042  df-en 6158  df-fin 6160
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator