ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssimaex Structured version   Unicode version

Theorem ssimaex 5177
Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ssimaex.1  _V
Assertion
Ref Expression
ssimaex  Fun  F  C_  F "  C_  F "
Distinct variable groups:   ,   ,   , F

Proof of Theorem ssimaex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 4575 . . . . 5  dom  F  |`  i^i  dom  F
21imaeq2i 4609 . . . 4  F
" dom  F  |`  F "  i^i  dom  F
3 imadmres 4756 . . . 4  F
" dom  F  |`  F "
42, 3eqtr3i 2059 . . 3  F
"  i^i  dom 
F  F "
54sseq2i 2964 . 2 
C_  F "  i^i  dom  F  C_  F "
6 ssrab2 3019 . . . 4  {  i^i  dom 
F  |  F `  }  C_  i^i  dom  F
7 ssel2 2934 . . . . . . . . 9  C_  F "  i^i  dom  F  F "  i^i  dom  F
87adantll 445 . . . . . . . 8  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  F "  i^i  dom  F
9 fvelima 5168 . . . . . . . . . . . 12  Fun  F  F "  i^i  dom  F  i^i  dom  F F `
109ex 108 . . . . . . . . . . 11  Fun 
F  F "  i^i  dom  F  i^i  dom  F F `
1110adantr 261 . . . . . . . . . 10  Fun  F  F "  i^i  dom  F  i^i  dom  F F `
12 eleq1a 2106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  F `  F `
1312anim2d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  i^i  dom  F  F `  i^i  dom  F  F `
14 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  F `  F `
1514eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  F `  F `
1615elrab 2692 . . . . . . . . . . . . . . 15  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  i^i  dom 
F  F `
1713, 16syl6ibr 151 . . . . . . . . . . . . . 14  i^i  dom  F  F `  {  i^i  dom 
F  |  F `  }
18 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15  i^i  dom  F  F `  F `
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  i^i  dom  F  F `  F `
2017, 19jcad 291 . . . . . . . . . . . . 13  i^i  dom  F  F `  {  i^i  dom  F  |  F `  }  F `
2120reximdv2 2412 . . . . . . . . . . . 12  i^i  dom  F F `  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  F `
2221adantl 262 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  i^i  dom  F F `  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  F `
23 funfn 4874 . . . . . . . . . . . . 13  Fun 
F  F  Fn  dom  F
24 inss2 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15  i^i  dom  F  C_ 
dom  F
256, 24sstri 2948 . . . . . . . . . . . . . 14  {  i^i  dom 
F  |  F `  }  C_  dom  F
26 fvelimab 5172 . . . . . . . . . . . . . 14  F  Fn  dom  F  {  i^i  dom  F  |  F `  }  C_  dom  F  F " {  i^i  dom 
F  |  F `  }  {  i^i  dom  F  |  F `  }  F `
2725, 26mpan2 401 . . . . . . . . . . . . 13  F  Fn  dom  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `
 }  {  i^i  dom  F  |  F `  }  F `
2823, 27sylbi 114 . . . . . . . . . . . 12  Fun 
F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }  {  i^i  dom  F  |  F `  }  F `
2928adantr 261 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }  {  i^i  dom  F  |  F `  }  F `
3022, 29sylibrd 158 . . . . . . . . . 10  Fun  F  i^i  dom  F F `  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
3111, 30syld 40 . . . . . . . . 9  Fun  F  F "  i^i  dom  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
3231adantlr 446 . . . . . . . 8  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  F "  i^i  dom  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
338, 32mpd 13 . . . . . . 7  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
3433ex 108 . . . . . 6  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
35 fvelima 5168 . . . . . . . . 9  Fun  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }  {  i^i  dom  F  |  F `  }  F `
3635ex 108 . . . . . . . 8  Fun 
F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  } 
{  i^i  dom  F  |  F `  }  F `
37 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12  F `  F `
3837biimpcd 148 . . . . . . . . . . 11  F `  F `
3938adantl 262 . . . . . . . . . 10  i^i  dom  F  F `  F `
4016, 39sylbi 114 . . . . . . . . 9  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  F `
4140rexlimiv 2421 . . . . . . . 8  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  F `
4236, 41syl6 29 . . . . . . 7  Fun 
F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
4342adantr 261 . . . . . 6  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
4434, 43impbid 120 . . . . 5  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
4544eqrdv 2035 . . . 4  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  F " {  i^i  dom 
F  |  F `  }
46 ssimaex.1 . . . . . . 7  _V
4746inex1 3882 . . . . . 6  i^i  dom  F  _V
4847rabex 3892 . . . . 5  {  i^i  dom 
F  |  F `  }  _V
49 sseq1 2960 . . . . . 6  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  C_  i^i  dom 
F  {  i^i  dom 
F  |  F `  }  C_  i^i  dom  F
50 imaeq2 4607 . . . . . . 7  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  F "  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }
5150eqeq2d 2048 . . . . . 6  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  F "  F " {  i^i  dom 
F  |  F `  }
5249, 51anbi12d 442 . . . . 5  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  C_  i^i  dom  F  F
"  {  i^i  dom  F  |  F `
 }  C_  i^i  dom  F  F
" {  i^i  dom  F  |  F `
 }
5348, 52spcev 2641 . . . 4  {  i^i  dom  F  |  F `  }  C_  i^i  dom 
F  F " {  i^i  dom  F  |  F `  }  C_  i^i  dom  F  F
"
546, 45, 53sylancr 393 . . 3  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  C_  i^i  dom  F  F
"
55 inss1 3151 . . . . . 6  i^i  dom  F  C_
56 sstr 2947 . . . . . 6  C_  i^i  dom  F  i^i  dom  F  C_  C_
5755, 56mpan2 401 . . . . 5 
C_  i^i  dom 
F  C_
5857anim1i 323 . . . 4  C_  i^i  dom  F  F "  C_  F "
5958eximi 1488 . . 3  C_  i^i  dom  F  F
" 
C_  F "
6054, 59syl 14 . 2  Fun  F  C_  F "  i^i  dom  F  C_  F "
615, 60sylan2br 272 1  Fun  F  C_  F "  C_  F "
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   {crab 2304   _Vcvv 2551    i^i cin 2910    C_ wss 2911   dom cdm 4288    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  ssimaexg  5178
  Copyright terms: Public domain W3C validator