Theorem ssimaex 5234

Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssimaex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ssimaex	|- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem ssimaex

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4632	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
2	1	imaeq2i 4666	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " ( A i^i dom F ) )
3		imadmres 4813	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " A )
4	2, 3	eqtr3i 2062	. . 3 |- ( F " ( A i^i dom F ) ) = ( F " A )
5	4	sseq2i 2970	. 2 |- ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) <-> B C_ ( F " A ) )
6		ssrab2 3025	. . . 4 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F )
7		ssel2 2940	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
8	7	adantll 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
9		fvelima 5225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z )
10	9	ex 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
11	10	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
12		eleq1a 2109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. B -> ( ( F ` w ) = z -> ( F ` w ) e. B ) )
13	12	anim2d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) ) )
14		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
15	14	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( ( F ` y ) e. B <-> ( F ` w ) e. B ) )
16	15	elrab 2698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } <-> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) )
17	13, 16	syl6ibr 151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
18		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z ) )
20	17, 19	jcad 291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } /\ ( F ` w ) = z ) ) )
21	20	reximdv2 2418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. B -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
22	21	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
23		funfn 4931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
24		inss2 3158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i dom F ) C_ dom F
25	6, 24	sstri 2954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F
26		fvelimab 5229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn dom F /\ { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
27	25, 26	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn dom F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
28	23, 27	sylbi 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
29	28	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
30	22, 29	sylibrd 158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
31	11, 30	syld 40	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
32	31	adantlr 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
34	33	ex 108	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
35		fvelima 5225	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z )
36	35	ex 108	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
37		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` w ) = z -> ( ( F ` w ) e. B <-> z e. B ) )
38	37	biimpcd 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
39	38	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
40	16, 39	sylbi 114	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
41	40	rexlimiv 2427	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z -> z e. B )
42	36, 41	syl6 29	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
43	42	adantr 261	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
44	34, 43	impbid 120	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B <-> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
45	44	eqrdv 2038	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
46		ssimaex.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
47	46	inex1 3891	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) e. _V
48	47	rabex 3901	. . . . 5 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } e. _V
49		sseq1 2966	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( x C_ ( A i^i dom F ) <-> { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) ) )
50		imaeq2 4664	. . . . . . 7 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( F " x ) = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
51	50	eqeq2d 2051	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( B = ( F " x ) <-> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
52	49, 51	anbi12d 442	. . . . 5 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) <-> ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) ) )
53	48, 52	spcev 2647	. . . 4 |- ( ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
54	6, 45, 53	sylancr 393	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
55		inss1 3157	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) C_ A
56		sstr 2953	. . . . . 6 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ ( A i^i dom F ) C_ A ) -> x C_ A )
57	55, 56	mpan2 401	. . . . 5 |- ( x C_ ( A i^i dom F ) -> x C_ A )
58	57	anim1i 323	. . . 4 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
59	58	eximi 1491	. . 3 |- ( E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
60	54, 59	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
61	5, 60	sylan2br 272	1 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E.wrex 2307   {crab 2310   _Vcvv 2557   i^i cin 2916   C_ wss 2917   dom cdm 4345   |` cres 4347   "cima 4348   Fun wfun 4896   Fn wfn 4897   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  ssimaexg  5235