Theorem expclzaplem 9279

Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 9280 and expap0i 9287. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expclzaplem	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Distinct variable groups:   z, A   z, N

Proof of Theorem expclzaplem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3767	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z # 0 <-> A # 0 ) )
2	1	elrab 2698	. . . 4 |- ( A e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( A e. CC /\ A # 0 ) )
3		ssrab2 3025	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
4		breq1 3767	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
5	4	elrab 2698	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6		breq1 3767	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z # 0 <-> y # 0 ) )
7	6	elrab 2698	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
8		mulcl 7008	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
9	8	ad2ant2r 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
10		mulap0 7635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) # 0 )
11		breq1 3767	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( z # 0 <-> ( x x. y ) # 0 ) )
12	11	elrab 2698	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( x x. y ) e. CC /\ ( x x. y ) # 0 ) )
13	9, 10, 12	sylanbrc 394	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
14	5, 7, 13	syl2anb 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ y e. { z e. CC | z # 0 } ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
15		ax-1cn 6977	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		1ap0 7581	. . . . . . 7 |- 1 # 0
17		breq1 3767	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z # 0 <-> 1 # 0 ) )
18	17	elrab 2698	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( 1 e. CC /\ 1 # 0 ) )
19	15, 16, 18	mpbir2an 849	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. CC | z # 0 }
20		recclap 7658	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
21		recap0 7664	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) # 0 )
22	20, 21	jca 290	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
23		breq1 3767	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( z # 0 <-> ( 1 / x ) # 0 ) )
24	23	elrab 2698	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
25	22, 5, 24	3imtr4i 190	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
26	25	adantr 261	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
27	3, 14, 19, 26	expcl2lemap 9267	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )
28	27	3expia 1106	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
29	2, 28	sylanbr 269	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
30	29	anabss3 519	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
31	30	3impia 1101	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   e. wcel 1393   {crab 2310   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   CCcc 6887   0cc0 6889   1c1 6890   x. cmul 6894   # cap 7572   / cdiv 7651   ZZcz 8245   ^cexp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255

This theorem is referenced by:  expclzap  9280  expap0i  9287