Theorem shftf 9431

Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftf	|- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem shftf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5046	. . 3 |- ( F : B --> C -> F Fn B )
2		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
3	2	shftfn 9425	. . 3 |- ( ( F Fn B /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } )
4	1, 3	sylan 267	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } )
5		oveq1 5519	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x - A ) = ( y - A ) )
6	5	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x - A ) e. B <-> ( y - A ) e. B ) )
7	6	elrab 2698	. . . 4 |- ( y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } <-> ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) )
8		simpr 103	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> A e. CC )
9		simpl 102	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) -> y e. CC )
10	2	shftval 9426	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` y ) = ( F ` ( y - A ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 273	. . . . 5 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( ( F shift A ) ` y ) = ( F ` ( y - A ) ) )
12		simpl 102	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> F : B --> C )
13		simpr 103	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) -> ( y - A ) e. B )
14		ffvelrn 5300	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ ( y - A ) e. B ) -> ( F ` ( y - A ) ) e. C )
15	12, 13, 14	syl2an 273	. . . . 5 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( F ` ( y - A ) ) e. C )
16	11, 15	eqeltrd 2114	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
17	7, 16	sylan2b 271	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ) -> ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
18	17	ralrimiva 2392	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> A. y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
19		ffnfv 5323	. 2 |- ( ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C <-> ( ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } /\ A. y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ( ( F shift A ) ` y ) e. C ) )
20	4, 18, 19	sylanbrc 394	1 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   {crab 2310   _Vcvv 2557   Fn wfn 4897   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   - cmin 7182   shift cshi 9415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-shft 9416

This theorem is referenced by: (None)