Theorem acexmidlem2 5509

Description: Lemma for acexmid 5511. This builds on acexmidlem1 5508 by noting that every element of C is inhabited.

(Note that y is not quite a function in the df-fun 4904 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4280 rather than df-op 3384).

The set A is also found in onsucelsucexmidlem 4254.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem2	|- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   x, C, y, z, w, v, u   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2311	. . . . 5 |- ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
2		19.23v 1763	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
3	1, 2	bitr2i 174	. . . 4 |- ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
4		acexmidlem.c	. . . . . . . . 9 |- C = { A , B }
5	4	eleq2i 2104	. . . . . . . 8 |- ( z e. C <-> z e. { A , B } )
6		vex 2560	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
7	6	elpr 3396	. . . . . . . 8 |- ( z e. { A , B } <-> ( z = A \/ z = B ) )
8	5, 7	bitri 173	. . . . . . 7 |- ( z e. C <-> ( z = A \/ z = B ) )
9		onsucelsucexmidlem1 4253	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
10		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
11	9, 10	eleqtrri 2113	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. A
12		elex2 2570	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> E. w w e. A )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. A
14		eleq2 2101	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( w e. z <-> w e. A ) )
15	14	exbidv 1706	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. A ) )
16	13, 15	mpbiri 157	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> E. w w e. z )
17		p0ex 3939	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
18	17	prid2 3477	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
19		eqid 2040	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } = { (/) }
20	19	orci 650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } = { (/) } \/ ph )
21		eqeq1 2046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { (/) } -> ( x = { (/) } <-> { (/) } = { (/) } ) )
22	21	orbi1d 705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { (/) } -> ( ( x = { (/) } \/ ph ) <-> ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
23	22	elrab 2698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } <-> ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } /\ ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2an 849	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
26	24, 25	eleqtrri 2113	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. B
27		elex2 2570	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. B -> E. w w e. B )
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. B
29		eleq2 2101	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
30	29	exbidv 1706	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. B ) )
31	28, 30	mpbiri 157	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> E. w w e. z )
32	16, 31	jaoi 636	. . . . . . 7 |- ( ( z = A \/ z = B ) -> E. w w e. z )
33	8, 32	sylbi 114	. . . . . 6 |- ( z e. C -> E. w w e. z )
34		pm2.27 35	. . . . . 6 |- ( E. w w e. z -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
36	35	imp 115	. . . 4 |- ( ( z e. C /\ ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
37	3, 36	sylan2br 272	. . 3 |- ( ( z e. C /\ A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
38	37	ralimiaa 2383	. 2 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
39	10, 25, 4	acexmidlem1 5508	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	syl 14	1 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   {crab 2310   (/)c0 3224   {csn 3375   {cpr 3376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iota 4867  df-riota 5468

This theorem is referenced by:  acexmidlemv  5510