ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  onsucelsucexmidlem Structured version   Unicode version

Theorem onsucelsucexmidlem 4214
Description: Lemma for onsucelsucexmid 4215. The set  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  } appears as in the proof of Theorem 1.3 in [Bauer] p. 483 (see acexmidlema 5446), and similar sets also appear in other proofs that various propositions imply excluded middle, for example in ordtriexmidlem 4208. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
onsucelsucexmidlem  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  On
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . . . . . 8  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)
2 noel 3222 . . . . . . . . . 10  (/)
3 eleq2 2098 . . . . . . . . . 10  (/)  (/)
42, 3mtbiri 599 . . . . . . . . 9  (/)
54adantl 262 . . . . . . . 8  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)
61, 5pm2.21dd 550 . . . . . . 7  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
76ex 108 . . . . . 6  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
8 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11  { (/) }  { (/) }
98biimpac 282 . . . . . . . . . 10  { (/) }  { (/) }
10 elsn 3382 . . . . . . . . . 10  { (/) }  (/)
119, 10sylib 127 . . . . . . . . 9  { (/) }  (/)
12 onsucelsucexmidlem1 4213 . . . . . . . . 9  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
1311, 12syl6eqel 2125 . . . . . . . 8  { (/) }  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
1413ex 108 . . . . . . 7  { (/) }  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
1514adantr 261 . . . . . 6  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  { (/) }  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
16 elrabi 2689 . . . . . . . 8  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  { (/)
,  { (/) } }
17 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
1817elpr 3385 . . . . . . . 8  { (/) ,  { (/)
} }  (/)  { (/) }
1916, 18sylib 127 . . . . . . 7  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)  { (/)
}
2019adantl 262 . . . . . 6  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)  { (/) }
217, 15, 20mpjaod 637 . . . . 5  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
2221gen2 1336 . . . 4  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
23 dftr2 3847 . . . 4  Tr 
{  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
2422, 23mpbir 134 . . 3  Tr  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
25 ssrab2 3019 . . 3  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  C_  { (/) ,  { (/)
} }
26 ord0 4094 . . . . 5  Ord  (/)
27 ordsucim 4192 . . . . 5  Ord  (/)  Ord  suc  (/)
28 ordsucim 4192 . . . . 5  Ord 
suc  (/)  Ord  suc  suc  (/)
2926, 27, 28mp2b 8 . . . 4  Ord  suc  suc  (/)
30 df-suc 4074 . . . . . 6  suc  { (/)
}  { (/)
}  u.  { { (/)
} }
31 suc0 4114 . . . . . . 7  suc  (/)  { (/)
}
32 suceq 4105 . . . . . . 7  suc  (/)  { (/) }  suc 
suc  (/)  suc  { (/)
}
3331, 32ax-mp 7 . . . . . 6  suc  suc  (/)  suc  { (/) }
34 df-pr 3374 . . . . . 6  { (/) ,  { (/) } }  { (/) }  u.  { { (/) } }
3530, 33, 343eqtr4i 2067 . . . . 5  suc  suc  (/)  { (/) ,  { (/) } }
36 ordeq 4075 . . . . 5  suc 
suc  (/)  { (/) ,  { (/) } }  Ord  suc  suc  (/)  Ord  { (/)
,  { (/) } }
3735, 36ax-mp 7 . . . 4  Ord 
suc  suc  (/)  Ord  { (/) ,  { (/) } }
3829, 37mpbi 133 . . 3  Ord  { (/)
,  { (/) } }
39 trssord 4083 . . 3  Tr  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  C_  { (/) ,  { (/)
} }  Ord  {
(/) ,  { (/) } }  Ord  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
4024, 25, 38, 39mp3an 1231 . 2  Ord  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
41 pp0ex 3931 . . . 4  { (/) ,  { (/) } }  _V
4241rabex 3892 . . 3  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  _V
4342elon 4077 . 2  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  On  Ord  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
4440, 43mpbir 134 1  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   {crab 2304    u. cun 2909    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   Tr wtr 3845   Ord word 4065   Oncon0 4066   suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074
This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4215  acexmidlemcase  5450  acexmidlemv  5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator