Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  onsucelsucexmidlem Structured version   Unicode version

Theorem onsucelsucexmidlem 4214
 Description: Lemma for onsucelsucexmid 4215. The set appears as in the proof of Theorem 1.3 in [Bauer] p. 483 (see acexmidlema 5446), and similar sets also appear in other proofs that various propositions imply excluded middle, for example in ordtriexmidlem 4208. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
onsucelsucexmidlem
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . . . . . 8
2 noel 3222 . . . . . . . . . 10
3 eleq2 2098 . . . . . . . . . 10
42, 3mtbiri 599 . . . . . . . . 9
54adantl 262 . . . . . . . 8
61, 5pm2.21dd 550 . . . . . . 7
76ex 108 . . . . . 6
8 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11
98biimpac 282 . . . . . . . . . 10
10 elsn 3382 . . . . . . . . . 10
119, 10sylib 127 . . . . . . . . 9
12 onsucelsucexmidlem1 4213 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eqel 2125 . . . . . . . 8
1413ex 108 . . . . . . 7
1514adantr 261 . . . . . 6
16 elrabi 2689 . . . . . . . 8
17 vex 2554 . . . . . . . . 9
1817elpr 3385 . . . . . . . 8
1916, 18sylib 127 . . . . . . 7
2019adantl 262 . . . . . 6
217, 15, 20mpjaod 637 . . . . 5
2221gen2 1336 . . . 4
23 dftr2 3847 . . . 4
2422, 23mpbir 134 . . 3
25 ssrab2 3019 . . 3
26 ord0 4094 . . . . 5
27 ordsucim 4192 . . . . 5
28 ordsucim 4192 . . . . 5
2926, 27, 28mp2b 8 . . . 4
30 df-suc 4074 . . . . . 6
31 suc0 4114 . . . . . . 7
32 suceq 4105 . . . . . . 7
3331, 32ax-mp 7 . . . . . 6
34 df-pr 3374 . . . . . 6
3530, 33, 343eqtr4i 2067 . . . . 5
36 ordeq 4075 . . . . 5
3735, 36ax-mp 7 . . . 4
3829, 37mpbi 133 . . 3
39 trssord 4083 . . 3
4024, 25, 38, 39mp3an 1231 . 2
41 pp0ex 3931 . . . 4
4241rabex 3892 . . 3
4342elon 4077 . 2
4440, 43mpbir 134 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  crab 2304   cun 2909   wss 2911  c0 3218  csn 3367  cpr 3368   wtr 3845   word 4065  con0 4066   csuc 4068 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074 This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4215  acexmidlemcase  5450  acexmidlemv  5453
 Copyright terms: Public domain W3C validator