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Theorem onsucelsucexmid 4215
Description: The converse of onsucelsucr 4199 implies excluded middle. On the other hand, if is constrained to be a natural number, instead of an arbitrary ordinal, then the converse of onsucelsucr 4199 does hold, as seen at nnsucelsuc 6009. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucelsucexmid.1  On  On  suc  suc
Assertion
Ref Expression
onsucelsucexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem onsucelsucexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem1 4213 . . . 4  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
2 0elon 4095 . . . . . 6  (/)  On
3 onsucelsucexmidlem 4214 . . . . . 6  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  On
42, 3pm3.2i 257 . . . . 5  (/)  On  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  On
5 onsucelsucexmid.1 . . . . 5  On  On  suc  suc
6 eleq1 2097 . . . . . . 7  (/)  (/)
7 suceq 4105 . . . . . . . 8  (/)  suc  suc  (/)
87eleq1d 2103 . . . . . . 7  (/)  suc  suc  suc  (/)  suc
96, 8imbi12d 223 . . . . . 6  (/)  suc  suc  (/)  suc  (/)  suc
10 eleq2 2098 . . . . . . 7  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/) 
(/)  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
11 suceq 4105 . . . . . . . 8  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc 
suc  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
1211eleq2d 2104 . . . . . . 7  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
1310, 12imbi12d 223 . . . . . 6  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)  suc  (/)  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
149, 13rspc2va 2657 . . . . 5  (/)  On 
{  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }  On  On  On  suc  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
154, 5, 14mp2an 402 . . . 4  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
161, 15ax-mp 7 . . 3  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
17 elsuci 4106 . . 3  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
1816, 17ax-mp 7 . 2  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
19 suc0 4114 . . . . . 6  suc  (/)  { (/)
}
20 p0ex 3930 . . . . . . 7  { (/) }  _V
2120prid2 3468 . . . . . 6  { (/) }  { (/) ,  { (/)
} }
2219, 21eqeltri 2107 . . . . 5  suc  (/)  { (/)
,  { (/) } }
23 eqeq1 2043 . . . . . . 7  suc  (/)  (/)  suc  (/)  (/)
2423orbi1d 704 . . . . . 6  suc  (/)  (/)  suc  (/)  (/)
2524elrab3 2693 . . . . 5  suc  (/)  { (/) ,  { (/)
} }  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  (/)
2622, 25ax-mp 7 . . . 4  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  (/)
27 0ex 3875 . . . . . . 7  (/)  _V
28 nsuceq0g 4121 . . . . . . 7  (/)  _V  suc  (/)  =/=  (/)
2927, 28ax-mp 7 . . . . . 6  suc  (/)  =/=  (/)
30 df-ne 2203 . . . . . 6  suc  (/)  =/=  (/)  suc  (/)  (/)
3129, 30mpbi 133 . . . . 5  suc  (/)  (/)
32 pm2.53 640 . . . . 5  suc  (/)  (/)  suc  (/)  (/)
3331, 32mpi 15 . . . 4  suc  (/)  (/)
3426, 33sylbi 114 . . 3  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
3519eqeq1i 2044 . . . . 5  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
3619eqeq1i 2044 . . . . . . . 8  suc  (/)  (/)  { (/) }  (/)
3731, 36mtbi 594 . . . . . . 7  { (/)
}  (/)
3820elsnc 3390 . . . . . . 7  { (/)
}  { (/) }  { (/) }  (/)
3937, 38mtbir 595 . . . . . 6  { (/)
}  { (/) }
40 eleq2 2098 . . . . . 6  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/) }  { (/)
}  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
4139, 40mtbii 598 . . . . 5  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
4235, 41sylbi 114 . . . 4  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  { (/) }  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
43 olc 631 . . . . 5  { (/) }  (/)
44 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  { (/) }  (/)  { (/) }  (/)
4544orbi1d 704 . . . . . . 7  { (/) }  (/)  { (/)
}  (/)
4645elrab3 2693 . . . . . 6  { (/)
}  { (/) ,  { (/) } }  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/)
}  (/)
4721, 46ax-mp 7 . . . . 5  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/)
}  (/)
4843, 47sylibr 137 . . . 4  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
4942, 48nsyl 558 . . 3  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
5034, 49orim12i 675 . 2  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
5118, 50ax-mp 7 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201  wral 2300   {crab 2304   _Vcvv 2551   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   Oncon0 4066   suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074
This theorem is referenced by:  ordsucunielexmid  4216
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