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Theorem onsucelsucexmid 4199
Description: The converse of onsucelsucr 4183 implies excluded middle. On the other hand, if is constrained to be a natural number, instead of an arbitrary ordinal, then the converse of onsucelsucr 4183 does hold, as seen at nnsucelsuc 5985. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucelsucexmid.1  On  On  suc  suc
Assertion
Ref Expression
onsucelsucexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem onsucelsucexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem1 4197 . . . 4  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
2 0elon 4078 . . . . . 6  (/)  On
3 onsucelsucexmidlem 4198 . . . . . 6  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  On
42, 3pm3.2i 257 . . . . 5  (/)  On  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  On
5 onsucelsucexmid.1 . . . . 5  On  On  suc  suc
6 eleq1 2082 . . . . . . 7  (/)  (/)
7 suceq 4088 . . . . . . . 8  (/)  suc  suc  (/)
87eleq1d 2088 . . . . . . 7  (/)  suc  suc  suc  (/)  suc
96, 8imbi12d 223 . . . . . 6  (/)  suc  suc  (/)  suc  (/)  suc
10 eleq2 2083 . . . . . . 7  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/) 
(/)  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
11 suceq 4088 . . . . . . . 8  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc 
suc  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
1211eleq2d 2089 . . . . . . 7  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
1310, 12imbi12d 223 . . . . . 6  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  (/)  suc  (/)  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
149, 13rspc2va 2640 . . . . 5  (/)  On 
{  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }  On  On  On  suc  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
154, 5, 14mp2an 404 . . . 4  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  suc  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
161, 15ax-mp 7 . . 3  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
17 elsuci 4089 . . 3  suc  (/)  suc  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
1816, 17ax-mp 7 . 2  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
19 suc0 4097 . . . . . 6  suc  (/)  { (/)
}
20 p0ex 3913 . . . . . . 7  { (/) }  _V
2120prid2 3451 . . . . . 6  { (/) }  { (/) ,  { (/)
} }
2219, 21eqeltri 2092 . . . . 5  suc  (/)  { (/)
,  { (/) } }
23 eqeq1 2028 . . . . . . 7  suc  (/)  (/)  suc  (/)  (/)
2423orbi1d 692 . . . . . 6  suc  (/)  (/)  suc  (/)  (/)
2524elrab3 2676 . . . . 5  suc  (/)  { (/) ,  { (/)
} }  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  (/)
2622, 25ax-mp 7 . . . 4  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  suc  (/)  (/)
27 0ex 3858 . . . . . . 7  (/)  _V
28 nsuceq0g 4104 . . . . . . 7  (/)  _V  suc  (/)  =/=  (/)
2927, 28ax-mp 7 . . . . . 6  suc  (/)  =/=  (/)
30 df-ne 2188 . . . . . 6  suc  (/)  =/=  (/)  suc  (/)  (/)
3129, 30mpbi 133 . . . . 5  suc  (/)  (/)
32 pm2.53 628 . . . . 5  suc  (/)  (/)  suc  (/)  (/)
3331, 32mpi 15 . . . 4  suc  (/)  (/)
3426, 33sylbi 114 . . 3  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
3519eqeq1i 2029 . . . . 5  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
3619eqeq1i 2029 . . . . . . . 8  suc  (/)  (/)  { (/) }  (/)
3731, 36mtbi 582 . . . . . . 7  { (/)
}  (/)
3820elsnc 3373 . . . . . . 7  { (/)
}  { (/) }  { (/) }  (/)
3937, 38mtbir 583 . . . . . 6  { (/)
}  { (/) }
40 eleq2 2083 . . . . . 6  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/) }  { (/)
}  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
4139, 40mtbii 586 . . . . 5  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
4235, 41sylbi 114 . . . 4  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  { (/) }  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
43 olc 619 . . . . 5  { (/) }  (/)
44 eqeq1 2028 . . . . . . . 8  { (/) }  (/)  { (/) }  (/)
4544orbi1d 692 . . . . . . 7  { (/) }  (/)  { (/)
}  (/)
4645elrab3 2676 . . . . . 6  { (/)
}  { (/) ,  { (/) } }  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/)
}  (/)
4721, 46ax-mp 7 . . . . 5  { (/)
}  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  { (/)
}  (/)
4843, 47sylibr 137 . . . 4  { (/) }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }
4942, 48nsyl 546 . . 3  suc  (/)  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
5034, 49orim12i 663 . 2  suc  (/)  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  (/)  }  suc  (/)  {  { (/)
,  { (/) } }  |  (/)  }
5118, 50ax-mp 7 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 616   wceq 1228   wcel 1374    =/= wne 2186  wral 2284   {crab 2288   _Vcvv 2535   (/)c0 3201   {csn 3350   {cpr 3351   Oncon0 4049   suc csuc 4051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-rab 2293  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-tr 3829  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057
This theorem is referenced by:  ordsucunielexmid  4200
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