ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlemcase Structured version   Unicode version

Theorem acexmidlemcase 5450
Description: Lemma for acexmid 5454. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at equals  { (/) }, (2) the choice function evaluated at equals  (/), and (3) the choice function evaluated at equals 
(/) and the choice function evaluated at equals  { (/) }.

Because of the way we represent the choice function , the choice function evaluated at is  iota_ and the choice function evaluated at is  iota_ . Other than the difference in notation these work just as  ` and  ` would if were a function as defined by df-fun 4847.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at equals  { (/) }, then  { (/) } and likewise for .

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
acexmidlem.b  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/)
}  }
acexmidlem.c  C  { ,  }
Assertion
Ref Expression
acexmidlemcase  C  { (/) }  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/) }
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   , C,,,,   ,,,,,

Proof of Theorem acexmidlemcase
StepHypRef Expression
1 acexmidlem.a . . . . . . . . . . . . . 14  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }
2 onsucelsucexmidlem 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  On
31, 2eqeltri 2107 . . . . . . . . . . . . 13  On
4 prid1g 3465 . . . . . . . . . . . . 13  On  { ,  }
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  { ,  }
6 acexmidlem.c . . . . . . . . . . . 12  C  { ,  }
75, 6eleqtrri 2110 . . . . . . . . . . 11  C
8 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . 15
98anbi1d 438 . . . . . . . . . . . . . 14
109rexbidv 2321 . . . . . . . . . . . . 13
1110reueqd 2509 . . . . . . . . . . . 12
1211rspcv 2646 . . . . . . . . . . 11  C  C
137, 12ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  C
14 riotacl 5425 . . . . . . . . . 10  iota_
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  C  iota_
16 elrabi 2689 . . . . . . . . . 10 
iota_  {  { (/) ,  { (/) } }  |  (/)  }  iota_  { (/) ,  { (/) } }
1716, 1eleq2s 2129 . . . . . . . . 9 
iota_  iota_  { (/) ,  { (/) } }
18 elpri 3387 . . . . . . . . 9 
iota_  { (/) ,  { (/) } }  iota_  (/)  iota_  { (/) }
1915, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8  C  iota_  (/)  iota_  { (/) }
20 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10 
iota_  { (/)
}  iota_  { (/) }
2115, 20syl5ibcom 144 . . . . . . . . 9  C  iota_  { (/)
}  { (/) }
2221orim2d 701 . . . . . . . 8  C  iota_  (/)  iota_  { (/)
}  iota_  (/)  { (/)
}
2319, 22mpd 13 . . . . . . 7  C  iota_  (/)  { (/)
}
24 acexmidlem.b . . . . . . . . . . . . . 14  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/)
}  }
25 pp0ex 3931 . . . . . . . . . . . . . . 15  { (/) ,  { (/) } }  _V
2625rabex 3892 . . . . . . . . . . . . . 14  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  }  _V
2724, 26eqeltri 2107 . . . . . . . . . . . . 13  _V
2827prid2 3468 . . . . . . . . . . . 12  { ,  }
2928, 6eleqtrri 2110 . . . . . . . . . . 11  C
30 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130anbi1d 438 . . . . . . . . . . . . . 14
3231rexbidv 2321 . . . . . . . . . . . . 13
3332reueqd 2509 . . . . . . . . . . . 12
3433rspcv 2646 . . . . . . . . . . 11  C  C
3529, 34ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  C
36 riotacl 5425 . . . . . . . . . 10  iota_
3735, 36syl 14 . . . . . . . . 9  C  iota_
38 elrabi 2689 . . . . . . . . . 10 
iota_  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  }  iota_ 
{ (/) ,  { (/) } }
3938, 24eleq2s 2129 . . . . . . . . 9 
iota_  iota_  { (/) ,  { (/) } }
40 elpri 3387 . . . . . . . . 9 
iota_  { (/) ,  { (/) } }  iota_  (/)  iota_  { (/) }
4137, 39, 403syl 17 . . . . . . . 8  C  iota_  (/)  iota_  { (/) }
42 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10 
iota_  (/)  iota_  (/)
4337, 42syl5ibcom 144 . . . . . . . . 9  C  iota_  (/)  (/)
4443orim1d 700 . . . . . . . 8  C  iota_  (/)  iota_  { (/)
}  (/)  iota_  { (/) }
4541, 44mpd 13 . . . . . . 7  C  (/)  iota_  { (/)
}
4623, 45jca 290 . . . . . 6  C  iota_  (/)  { (/) }  (/)  iota_  { (/) }
47 anddi 733 . . . . . 6  iota_  (/)  { (/)
}  (/)  iota_  { (/)
}  iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
}  { (/) }  (/)  { (/) }  iota_  { (/) }
4846, 47sylib 127 . . . . 5  C 
iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
}  { (/) }  (/)  { (/) }  iota_  { (/) }
49 simpl 102 . . . . . . 7  { (/) }  (/)  { (/) }
50 simpl 102 . . . . . . 7  { (/) }  iota_  { (/)
}  { (/)
}
5149, 50jaoi 635 . . . . . 6  { (/) }  (/)  { (/) }  iota_  { (/) }  { (/) }
5251orim2i 677 . . . . 5  iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
}  { (/) }  (/)  { (/) }  iota_  { (/) }  iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
} 
{ (/) }
5348, 52syl 14 . . . 4  C 
iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
} 
{ (/) }
5453orcomd 647 . . 3  C  { (/) } 
iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
}
55 simpr 103 . . . . 5  iota_  (/)  (/)  (/)
5655orim1i 676 . . . 4  iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
}  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/) }
5756orim2i 677 . . 3  { (/) }  iota_  (/)  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/)
}  { (/) }  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/) }
5854, 57syl 14 . 2  C  { (/) }  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/) }
59 3orass 887 . 2  { (/) }  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/) }  { (/) }  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/) }
6058, 59sylibr 137 1  C  { (/) }  (/)  iota_  (/)  iota_  { (/) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wreu 2302   {crab 2304   _Vcvv 2551   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   Oncon0 4066   iota_crio 5410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iota 4810  df-riota 5411
This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5451
  Copyright terms: Public domain W3C validator