Theorem acexmidlemcase 5507

Description: Lemma for acexmid 5511. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at A equals { (/) }, (2) the choice function evaluated at B equals (/), and (3) the choice function evaluated at A equals (/) and the choice function evaluated at B equals { (/) }.

Because of the way we represent the choice function y, the choice function evaluated at A is ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) and the choice function evaluated at B is ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ). Other than the difference in notation these work just as ( y ` A ) and ( y ` B ) would if y were a function as defined by df-fun 4904.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at A equals { (/) }, then { (/) } e. A and likewise for B.

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemcase	|- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, u, A   x, B, y, z, v, u   x, C, y, z, v, u   ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlemcase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
2		onsucelsucexmidlem 4254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } e. On
3	1, 2	eqeltri 2110	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. On
4		prid1g 3474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> A e. { A , B } )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. { A , B }
6		acexmidlem.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = { A , B }
7	5, 6	eleqtrri 2113	. . . . . . . . . . 11 |- A e. C
8		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = A -> ( z e. u <-> A e. u ) )
9	8	anbi1d 438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = A -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( A e. u /\ v e. u ) ) )
10	9	rexbidv 2327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = A -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
11	10	reueqd 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
12	11	rspcv 2652	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) )
13	7, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) )
14		riotacl 5482	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A )
16		elrabi 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
17	16, 1	eleq2s 2132	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
18		elpri 3398	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
19	15, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
20		eleq1 2100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) e. A <-> { (/) } e. A ) )
21	15, 20	syl5ibcom 144	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } -> { (/) } e. A ) )
22	21	orim2d 702	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) ) )
23	19, 22	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) )
24		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		pp0ex 3940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) , { (/) } } e. _V
26	25	rabex 3901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } e. _V
27	24, 26	eqeltri 2110	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. _V
28	27	prid2 3477	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. { A , B }
29	28, 6	eleqtrri 2113	. . . . . . . . . . 11 |- B e. C
30		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = B -> ( z e. u <-> B e. u ) )
31	30	anbi1d 438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( B e. u /\ v e. u ) ) )
32	31	rexbidv 2327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
33	32	reueqd 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = B -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
34	33	rspcv 2652	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
35	29, 34	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) )
36		riotacl 5482	. . . . . . . . . 10 |- ( E! v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B )
38		elrabi 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
39	38, 24	eleq2s 2132	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } )
40		elpri 3398	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. { (/) , { (/) } } -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
41	37, 39, 40	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
42		eleq1 2100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) e. B <-> (/) e. B ) )
43	37, 42	syl5ibcom 144	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) -> (/) e. B ) )
44	43	orim1d 701	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
46	23, 45	jca 290	. . . . . 6 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
47		anddi 734	. . . . . 6 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) \/ { (/) } e. A ) /\ ( (/) e. B \/ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
48	46, 47	sylib 127	. . . . 5 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
49		simpl 102	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) -> { (/) } e. A )
50		simpl 102	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> { (/) } e. A )
51	49, 50	jaoi 636	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> { (/) } e. A )
52	51	orim2i 678	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ ( ( { (/) } e. A /\ (/) e. B ) \/ ( { (/) } e. A /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
53	48, 52	syl 14	. . . 4 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) \/ { (/) } e. A ) )
54	53	orcomd 648	. . 3 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
55		simpr 103	. . . . 5 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) -> (/) e. B )
56	55	orim1i 677	. . . 4 |- ( ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )
57	56	orim2i 678	. . 3 |- ( ( { (/) } e. A \/ ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ (/) e. B ) \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
58	54, 57	syl 14	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
59		3orass 888	. 2 |- ( ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) <-> ( { (/) } e. A \/ ( (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) ) )
60	58, 59	sylibr 137	1 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( { (/) } e. A \/ (/) e. B \/ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   \/ w3o 884   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   {crab 2310   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   {csn 3375   {cpr 3376   Oncon0 4100   iota_crio 5467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iota 4867  df-riota 5468

This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5508