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Theorem acexmidlemcase 5431
Description: Lemma for acexmid 5435. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at A equals {∅}, (2) the choice function evaluated at B equals , and (3) the choice function evaluated at A equals and the choice function evaluated at B equals {∅}.

Because of the way we represent the choice function y, the choice function evaluated at A is (v Au y(A u v u)) and the choice function evaluated at B is (v Bu y(B u v u)). Other than the difference in notation these work just as (yA) and (yB) would if y were a function as defined by df-fun 4831.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at A equals {∅}, then {∅} A and likewise for B.

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a A = {x {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ φ)}
acexmidlem.b B = {x {∅, {∅}} ∣ (x = {∅} φ)}
acexmidlem.c 𝐶 = {A, B}
Assertion
Ref Expression
acexmidlemcase (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ({∅} A B ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})))
Distinct variable groups:   x,y,z,v,u,A   x,B,y,z,v,u   x,𝐶,y,z,v,u   φ,x,y,z,v,u

Proof of Theorem acexmidlemcase
StepHypRef Expression
1 acexmidlem.a . . . . . . . . . . . . . 14 A = {x {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ φ)}
2 onsucelsucexmidlem 4198 . . . . . . . . . . . . . 14 {x {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ φ)} On
31, 2eqeltri 2092 . . . . . . . . . . . . 13 A On
4 prid1g 3448 . . . . . . . . . . . . 13 (A On → A {A, B})
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 A {A, B}
6 acexmidlem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = {A, B}
75, 6eleqtrri 2095 . . . . . . . . . . 11 A 𝐶
8 eleq1 2082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = A → (z uA u))
98anbi1d 441 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = A → ((z u v u) ↔ (A u v u)))
109rexbidv 2305 . . . . . . . . . . . . 13 (z = A → (u y (z u v u) ↔ u y (A u v u)))
1110reueqd 2493 . . . . . . . . . . . 12 (z = A → (∃!v z u y (z u v u) ↔ ∃!v A u y (A u v u)))
1211rspcv 2629 . . . . . . . . . . 11 (A 𝐶 → (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ∃!v A u y (A u v u)))
137, 12ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ∃!v A u y (A u v u))
14 riotacl 5406 . . . . . . . . . 10 (∃!v A u y (A u v u) → (v A u y (A u v u)) A)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → (v A u y (A u v u)) A)
16 elrabi 2672 . . . . . . . . . 10 ((v A u y (A u v u)) {x {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ φ)} → (v A u y (A u v u)) {∅, {∅}})
1716, 1eleq2s 2114 . . . . . . . . 9 ((v A u y (A u v u)) A → (v A u y (A u v u)) {∅, {∅}})
18 elpri 3370 . . . . . . . . 9 ((v A u y (A u v u)) {∅, {∅}} → ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v A u y (A u v u)) = {∅}))
1915, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v A u y (A u v u)) = {∅}))
20 eleq1 2082 . . . . . . . . . 10 ((v A u y (A u v u)) = {∅} → ((v A u y (A u v u)) A ↔ {∅} A))
2115, 20syl5ibcom 144 . . . . . . . . 9 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ((v A u y (A u v u)) = {∅} → {∅} A))
2221orim2d 689 . . . . . . . 8 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → (((v A u y (A u v u)) = ∅ (v A u y (A u v u)) = {∅}) → ((v A u y (A u v u)) = ∅ {∅} A)))
2319, 22mpd 13 . . . . . . 7 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ((v A u y (A u v u)) = ∅ {∅} A))
24 acexmidlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 B = {x {∅, {∅}} ∣ (x = {∅} φ)}
25 pp0ex 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15 {∅, {∅}} V
2625rabex 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 {x {∅, {∅}} ∣ (x = {∅} φ)} V
2724, 26eqeltri 2092 . . . . . . . . . . . . 13 B V
2827prid2 3451 . . . . . . . . . . . 12 B {A, B}
2928, 6eleqtrri 2095 . . . . . . . . . . 11 B 𝐶
30 eleq1 2082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = B → (z uB u))
3130anbi1d 441 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = B → ((z u v u) ↔ (B u v u)))
3231rexbidv 2305 . . . . . . . . . . . . 13 (z = B → (u y (z u v u) ↔ u y (B u v u)))
3332reueqd 2493 . . . . . . . . . . . 12 (z = B → (∃!v z u y (z u v u) ↔ ∃!v B u y (B u v u)))
3433rspcv 2629 . . . . . . . . . . 11 (B 𝐶 → (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ∃!v B u y (B u v u)))
3529, 34ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ∃!v B u y (B u v u))
36 riotacl 5406 . . . . . . . . . 10 (∃!v B u y (B u v u) → (v B u y (B u v u)) B)
3735, 36syl 14 . . . . . . . . 9 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → (v B u y (B u v u)) B)
38 elrabi 2672 . . . . . . . . . 10 ((v B u y (B u v u)) {x {∅, {∅}} ∣ (x = {∅} φ)} → (v B u y (B u v u)) {∅, {∅}})
3938, 24eleq2s 2114 . . . . . . . . 9 ((v B u y (B u v u)) B → (v B u y (B u v u)) {∅, {∅}})
40 elpri 3370 . . . . . . . . 9 ((v B u y (B u v u)) {∅, {∅}} → ((v B u y (B u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}))
4137, 39, 403syl 17 . . . . . . . 8 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ((v B u y (B u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}))
42 eleq1 2082 . . . . . . . . . 10 ((v B u y (B u v u)) = ∅ → ((v B u y (B u v u)) B ↔ ∅ B))
4337, 42syl5ibcom 144 . . . . . . . . 9 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ((v B u y (B u v u)) = ∅ → ∅ B))
4443orim1d 688 . . . . . . . 8 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → (((v B u y (B u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}) → (∅ B (v B u y (B u v u)) = {∅})))
4541, 44mpd 13 . . . . . . 7 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → (∅ B (v B u y (B u v u)) = {∅}))
4623, 45jca 290 . . . . . 6 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → (((v A u y (A u v u)) = ∅ {∅} A) (∅ B (v B u y (B u v u)) = {∅})))
47 anddi 722 . . . . . 6 ((((v A u y (A u v u)) = ∅ {∅} A) (∅ B (v B u y (B u v u)) = {∅})) ↔ ((((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})) (({∅} A B) ({∅} A (v B u y (B u v u)) = {∅}))))
4846, 47sylib 127 . . . . 5 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ((((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})) (({∅} A B) ({∅} A (v B u y (B u v u)) = {∅}))))
49 ax-ia1 99 . . . . . . 7 (({∅} A B) → {∅} A)
50 ax-ia1 99 . . . . . . 7 (({∅} A (v B u y (B u v u)) = {∅}) → {∅} A)
5149, 50jaoi 623 . . . . . 6 ((({∅} A B) ({∅} A (v B u y (B u v u)) = {∅})) → {∅} A)
5251orim2i 665 . . . . 5 (((((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})) (({∅} A B) ({∅} A (v B u y (B u v u)) = {∅}))) → ((((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})) {∅} A))
5348, 52syl 14 . . . 4 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ((((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})) {∅} A))
5453orcomd 635 . . 3 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ({∅} A (((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}))))
55 ax-ia2 100 . . . . 5 (((v A u y (A u v u)) = ∅ B) → ∅ B)
5655orim1i 664 . . . 4 ((((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})) → (∅ B ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})))
5756orim2i 665 . . 3 (({∅} A (((v A u y (A u v u)) = ∅ B) ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}))) → ({∅} A (∅ B ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}))))
5854, 57syl 14 . 2 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ({∅} A (∅ B ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}))))
59 3orass 876 . 2 (({∅} A B ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})) ↔ ({∅} A (∅ B ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅}))))
6058, 59sylibr 137 1 (z 𝐶 ∃!v z u y (z u v u) → ({∅} A B ((v A u y (A u v u)) = ∅ (v B u y (B u v u)) = {∅})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 616   w3o 872   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  wrex 2285  ∃!wreu 2286  {crab 2288  Vcvv 2535  c0 3201  {csn 3350  {cpr 3351  Oncon0 4049  crio 5392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-tr 3829  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iota 4794  df-riota 5393
This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5432
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