Theorem acexmidlemv 5510

Description: Lemma for acexmid 5511.

This is acexmid 5511 with additional distinct variable constraints, most notably between ph and x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
acexmidlemv.choice	|- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemv	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucelsucexmidlem 4254	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On
2		pp0ex 3940	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	rabex 3901	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V
4		prexg 3947	. . . 4 |- ( ( { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } e. On /\ { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } e. _V ) -> { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V )
5	1, 3, 4	mp2an 402	. . 3 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } e. _V
6		raleq 2505	. . . 4 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
7	6	exbidv 1706	. . 3 |- ( x = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } -> ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
8		acexmidlemv.choice	. . 3 |- E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
9	5, 7, 8	vtocl 2608	. 2 |- E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u )
10		eqeq1 2046	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = (/) <-> t = (/) ) )
11	10	orbi1d 705	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = (/) \/ ph ) <-> ( t = (/) \/ ph ) ) )
12	11	cbvrabv 2556	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = (/) \/ ph ) }
13		eqeq1 2046	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( s = { (/) } <-> t = { (/) } ) )
14	13	orbi1d 705	. . . . 5 |- ( s = t -> ( ( s = { (/) } \/ ph ) <-> ( t = { (/) } \/ ph ) ) )
15	14	cbvrabv 2556	. . . 4 |- { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } = { t e. { (/) , { (/) } } | ( t = { (/) } \/ ph ) }
16		eqid 2040	. . . 4 |- { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } = { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } }
17	12, 15, 16	acexmidlem2 5509	. . 3 |- ( A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
18	17	exlimiv 1489	. 2 |- ( E. y A. z e. { { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = (/) \/ ph ) } , { s e. { (/) , { (/) } } | ( s = { (/) } \/ ph ) } } A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
19	9, 18	ax-mp 7	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 97   \/ wo 629   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   {crab 2310   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   {csn 3375   {cpr 3376   Oncon0 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iota 4867  df-riota 5468

This theorem is referenced by:  acexmid  5511