Theorem peano2 4318

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	|- ( A e. om -> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2566	. 2 |- ( A e. om -> A e. _V )
2		simpl 102	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> A e. _V )
3		eleq1 2100	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. z <-> A e. z ) )
4		suceq 4139	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> suc x = suc A )
5	4	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( suc x e. z <-> suc A e. z ) )
6	3, 5	imbi12d 223	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x e. z -> suc x e. z ) <-> ( A e. z -> suc A e. z ) ) )
7	6	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) /\ x = A ) -> ( ( x e. z -> suc x e. z ) <-> ( A e. z -> suc A e. z ) ) )
8		df-clab 2027	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) )
9		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x e. y suc x e. y )
10		df-ral 2311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. y suc x e. y <-> A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
11	9, 10	sylib 127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
12	11	sbimi 1647	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> [ z / y ] A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
13		sbim 1827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / y ] ( x e. y -> suc x e. y ) <-> ( [ z / y ] x e. y -> [ z / y ] suc x e. y ) )
14		elsb4 1853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / y ] x e. y <-> x e. z )
15		clelsb4 2143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / y ] suc x e. y <-> suc x e. z )
16	14, 15	imbi12i 228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ z / y ] x e. y -> [ z / y ] suc x e. y ) <-> ( x e. z -> suc x e. z ) )
17	13, 16	bitri 173	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / y ] ( x e. y -> suc x e. y ) <-> ( x e. z -> suc x e. z ) )
18	17	sbalv 1881	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / y ] A. x ( x e. y -> suc x e. y ) <-> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
19	12, 18	sylib 127	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
20	8, 19	sylbi 114	. . . . . . . 8 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
21	20	19.21bi 1450	. . . . . . 7 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> ( x e. z -> suc x e. z ) )
22	21	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> ( x e. z -> suc x e. z ) )
23		nfv 1421	. . . . . . 7 |- F/ x A e. _V
24		nfv 1421	. . . . . . . . 9 |- F/ x (/) e. y
25		nfra1 2355	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. y suc x e. y
26	24, 25	nfan 1457	. . . . . . . 8 |- F/ x ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
27	26	nfsab 2032	. . . . . . 7 |- F/ x z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
28	23, 27	nfan 1457	. . . . . 6 |- F/ x ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
29		nfcvd 2179	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> F/_ x A )
30		nfvd 1422	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> F/ x ( A e. z -> suc A e. z ) )
31	2, 7, 22, 28, 29, 30	vtocldf 2605	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> ( A e. z -> suc A e. z ) )
32	31	ralrimiva 2392	. . . 4 |- ( A e. _V -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) )
33		ralim 2380	. . . . 5 |- ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) -> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
34		elintg 3623	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z ) )
35		sucexg 4224	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> suc A e. _V )
36		elintg 3623	. . . . . . 7 |- ( suc A e. _V -> ( suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
38	34, 37	imbi12d 223	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) <-> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) ) )
39	33, 38	syl5ibr 145	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) ) )
40	32, 39	mpd 13	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) )
41		dfom3 4315	. . . 4 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
42	41	eleq2i 2104	. . 3 |- ( A e. om <-> A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
43	41	eleq2i 2104	. . 3 |- ( suc A e. om <-> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
44	40, 42, 43	3imtr4g 194	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. om -> suc A e. om ) )
45	1, 44	mpcom 32	1 |- ( A e. om -> suc A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   [wsb 1645   {cab 2026   A.wral 2306   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   |^|cint 3615   suc csuc 4102   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by:  peano5  4321  limom  4336  peano2b  4337  nnregexmid  4342  frecsuclem1  5987  frecsuclem3  5990  frecrdg  5992  nnacl  6059  nnacom  6063  nnmsucr  6067  nnsucsssuc  6071  nnaword  6084  1onn  6093  2onn  6094  3onn  6095  4onn  6096  nnaordex  6100  php5  6321  phplem4dom  6324  php5dom  6325  phplem4on  6329  dif1en  6337  findcard  6345  findcard2  6346  findcard2s  6347  frec2uzrand  9191  frecuzrdgsuc  9201  frecfzennn  9203