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Theorem nnaordex 6036
Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordex  om  om  om  (/)  +o
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem nnaordex
Dummy variables  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2098 . . . . . 6  b  b
2 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  b  +o  b  +o
32anbi2d 437 . . . . . . 7  b  (/)  +o  b  (/)  +o
43rexbidv 2321 . . . . . 6  b  om  (/)  +o  b  om  (/)  +o
51, 4imbi12d 223 . . . . 5  b  b  om  (/)  +o  b  om  (/)  +o
65imbi2d 219 . . . 4  b  om  b  om  (/)  +o  b  om  om  (/)  +o
7 eleq2 2098 . . . . . 6  b  (/)  b  (/)
8 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  b  (/)  +o  b  +o  (/)
98anbi2d 437 . . . . . . 7  b  (/)  (/)  +o  b  (/)  +o  (/)
109rexbidv 2321 . . . . . 6  b  (/)  om  (/)  +o  b  om  (/)  +o  (/)
117, 10imbi12d 223 . . . . 5  b  (/)  b  om  (/)  +o  b  (/)  om  (/)  +o  (/)
12 eleq2 2098 . . . . . 6  b  b
13 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  b  +o  b  +o
1413anbi2d 437 . . . . . . 7  b  (/)  +o  b  (/)  +o
1514rexbidv 2321 . . . . . 6  b  om  (/)  +o  b  om  (/)  +o
1612, 15imbi12d 223 . . . . 5  b  b  om  (/)  +o  b  om  (/)  +o
17 eleq2 2098 . . . . . 6  b  suc  b  suc
18 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  b  suc  +o  b  +o 
suc
1918anbi2d 437 . . . . . . 7  b  suc  (/)  +o  b  (/)  +o  suc
2019rexbidv 2321 . . . . . 6  b  suc  om  (/)  +o  b  om  (/)  +o  suc
2117, 20imbi12d 223 . . . . 5  b  suc  b  om  (/)  +o  b  suc 
om  (/)  +o  suc
22 noel 3222 . . . . . . 7  (/)
2322pm2.21i 574 . . . . . 6  (/)  om  (/)  +o  (/)
2423a1i 9 . . . . 5  om  (/)  om  (/)  +o  (/)
25 elsuci 4106 . . . . . . 7  suc
26 simpr 103 . . . . . . . . 9  om  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o
27 peano2 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15  om  suc  om
2827ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  (/)  +o  suc 
om
29 elelsuc 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  (/)  (/)  suc
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  om  om  (/) 
(/)  suc
31 nnasuc 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  om  om  +o  suc  suc  +o
32 suceq 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  +o  suc  +o  suc
3331, 32sylan9eq 2089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  om  om  +o  +o  suc  suc
3433ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  om  om  +o  +o  suc  suc
3530, 34anim12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  om  om  (/)  +o  (/)  suc  +o  suc  suc
3635imp 115 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  (/)  +o  (/)  suc  +o  suc  suc
37 eleq2 2098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  suc  (/)  (/)  suc
38 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  suc  +o  +o  suc
3938eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  suc  +o  suc  +o  suc  suc
4037, 39anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  suc  (/)  +o  suc  (/)  suc  +o  suc  suc
4140rspcev 2650 . . . . . . . . . . . . . 14  suc  om  (/)  suc  +o  suc  suc  om  (/)  +o 
suc
4228, 36, 41syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13  om  om  (/)  +o 
om  (/)  +o  suc
4342ex 108 . . . . . . . . . . . 12  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o  suc
4443rexlimdva 2427 . . . . . . . . . . 11  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o  suc
45 eleq2 2098 . . . . . . . . . . . . 13  (/)  (/)
46 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  +o
4746eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . 13  +o  suc  +o 
suc
4845, 47anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12  (/)  +o  suc  (/)  +o  suc
4948cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . 11  om  (/)  +o 
suc  om  (/)  +o  suc
5044, 49syl6ib 150 . . . . . . . . . 10  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o  suc
5150ad2antlr 458 . . . . . . . . 9  om  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o  om  (/)  +o  suc
5226, 51syld 40 . . . . . . . 8  om  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o 
suc
53 0lt1o 5962 . . . . . . . . . . . 12  (/)  1o
5453a1i 9 . . . . . . . . . . 11  om 
(/)  1o
55 nnon 4275 . . . . . . . . . . . . 13  om  On
56 oa1suc 5986 . . . . . . . . . . . . 13  On  +o  1o 
suc
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . 12  om  +o  1o 
suc
58 suceq 4105 . . . . . . . . . . . 12  suc  suc
5957, 58sylan9eq 2089 . . . . . . . . . . 11  om  +o  1o  suc
60 1onn 6029 . . . . . . . . . . . 12  1o  om
61 eleq2 2098 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  (/)  (/)  1o
62 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . 15  1o  +o  +o  1o
6362eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  +o  suc  +o  1o 
suc
6461, 63anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . 13  1o  (/)  +o  suc  (/)  1o  +o  1o  suc
6564rspcev 2650 . . . . . . . . . . . 12  1o  om  (/)  1o  +o  1o  suc  om  (/)  +o  suc
6660, 65mpan 400 . . . . . . . . . . 11  (/)  1o  +o  1o 
suc  om  (/)  +o  suc
6754, 59, 66syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  om  om  (/)  +o  suc
6867ex 108 . . . . . . . . 9  om  om  (/)  +o 
suc
6968ad2antlr 458 . . . . . . . 8  om  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o 
suc
7052, 69jaod 636 . . . . . . 7  om  om  om  (/)  +o  om  (/)  +o  suc
7125, 70syl5 28 . . . . . 6  om  om  om  (/)  +o  suc  om  (/)  +o  suc
7271exp31 346 . . . . 5  om  om  om  (/)  +o  suc  om  (/)  +o  suc
7311, 16, 21, 24, 72finds2 4267 . . . 4  b  om  om  b  om  (/)  +o  b
746, 73vtoclga 2613 . . 3  om  om  om  (/)  +o
7574impcom 116 . 2  om  om  om  (/)  +o
76 peano1 4260 . . . . . . . . 9  (/)  om
77 nnaord 6018 . . . . . . . . 9  (/)  om  om  om  (/)  +o  (/)  +o
7876, 77mp3an1 1218 . . . . . . . 8  om  om  (/)  +o  (/)  +o
7978ancoms 255 . . . . . . 7  om  om  (/)  +o  (/)  +o
80 nna0 5992 . . . . . . . . 9  om  +o  (/)
8180adantr 261 . . . . . . . 8  om  om  +o  (/)
8281eleq1d 2103 . . . . . . 7  om  om  +o  (/)  +o  +o
8379, 82bitrd 177 . . . . . 6  om  om  (/)  +o
8483anbi1d 438 . . . . 5  om  om  (/)  +o  +o  +o
85 eleq2 2098 . . . . . 6  +o  +o
8685biimpac 282 . . . . 5  +o  +o
8784, 86syl6bi 152 . . . 4  om  om  (/)  +o
8887rexlimdva 2427 . . 3  om  om  (/)  +o
8988adantr 261 . 2  om  om 
om  (/)  +o
9075, 89impbid 120 1  om  om  om  (/)  +o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   (/)c0 3218   Oncon0 4066   suc csuc 4068   omcom 4256  (class class class)co 5455   1oc1o 5933    +o coa 5937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944
This theorem is referenced by:  nnawordex  6037  ltexpi  6321
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