Theorem nnaord 6018

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	|- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. B <-> ( C +o A) e. ( C +o B)))

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 6017	. . 3 |- ((B e. om /\ C e. om) -> (A e. B -> ( C +o A) e. ( C +o B)))
2	1	3adant1 921	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. B -> ( C +o A) e. ( C +o B)))
3		oveq2 5463	. . . . . 6 |- (A = B -> ( C +o A) = ( C +o B))
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A = B -> ( C +o A) = ( C +o B)))
5		nnaordi 6017	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ C e. om) -> (B e. A -> ( C +o B) e. ( C +o A)))
6	5	3adant2 922	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (B e. A -> ( C +o B) e. ( C +o A)))
7	4, 6	orim12d 699	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A = B \/ B e. A) -> (( C +o A) = ( C +o B) \/ ( C +o B) e. ( C +o A))))
8	7	con3d 560	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (-. (( C +o A) = ( C +o B) \/ ( C +o B) e. ( C +o A)) -> -. (A = B \/ B e. A)))
9		df-3an 886	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) <-> ((A e. om /\ B e. om) /\ C e. om))
10		ancom 253	. . . . . 6 |- (((A e. om /\ B e. om) /\ C e. om) <-> ( C e. om /\ (A e. om /\ B e. om)))
11		anandi 524	. . . . . 6 |- (( C e. om /\ (A e. om /\ B e. om)) <-> (( C e. om /\ A e. om) /\ ( C e. om /\ B e. om)))
12	9, 10, 11	3bitri 195	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) <-> (( C e. om /\ A e. om) /\ ( C e. om /\ B e. om)))
13		nnacl 5998	. . . . . 6 |- (( C e. om /\ A e. om) -> ( C +o A) e. om)
14		nnacl 5998	. . . . . 6 |- (( C e. om /\ B e. om) -> ( C +o B) e. om)
15	13, 14	anim12i 321	. . . . 5 |- ((( C e. om /\ A e. om) /\ ( C e. om /\ B e. om)) -> (( C +o A) e. om /\ ( C +o B) e. om))
16	12, 15	sylbi 114	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (( C +o A) e. om /\ ( C +o B) e. om))
17		nntri2 6012	. . . 4 |- ((( C +o A) e. om /\ ( C +o B) e. om) -> (( C +o A) e. ( C +o B) <-> -. (( C +o A) = ( C +o B) \/ ( C +o B) e. ( C +o A))))
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (( C +o A) e. ( C +o B) <-> -. (( C +o A) = ( C +o B) \/ ( C +o B) e. ( C +o A))))
19		nntri2 6012	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
20	19	3adant3 923	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
21	8, 18, 20	3imtr4d 192	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (( C +o A) e. ( C +o B) -> A e. B))
22	2, 21	impbid 120	1 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. B <-> ( C +o A) e. ( C +o B)))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 628   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   omcom 4256  (class class class)co 5455   +o coa 5937

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944

This theorem is referenced by:  nnaordr  6019  nnaordex  6036  ltapig  6322  1lt2pi  6324