ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexpi Structured version   Unicode version

Theorem ltexpi 6321
Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltexpi  N.  N.  <N  N.  +N
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltexpi
StepHypRef Expression
1 pinn 6293 . . 3  N.  om
2 pinn 6293 . . 3  N.  om
3 nnaordex 6036 . . 3  om  om  om  (/)  +o
41, 2, 3syl2an 273 . 2  N.  N.  om  (/)  +o
5 ltpiord 6303 . 2  N.  N.  <N
6 addpiord 6300 . . . . . . 7  N.  N.  +N  +o
76eqeq1d 2045 . . . . . 6  N.  N.  +N  +o
87pm5.32da 425 . . . . 5  N.  N.  +N  N.  +o
9 elni2 6298 . . . . . . 7  N.  om  (/)
109anbi1i 431 . . . . . 6  N.  +o  om  (/)  +o
11 anass 381 . . . . . 6  om  (/)  +o  om  (/)  +o
1210, 11bitri 173 . . . . 5  N.  +o  om  (/)  +o
138, 12syl6bb 185 . . . 4  N.  N.  +N  om  (/)  +o
1413rexbidv2 2323 . . 3  N.  N.  +N  om  (/)  +o
1514adantr 261 . 2  N.  N. 
N.  +N  om  (/)  +o
164, 5, 153bitr4d 209 1  N.  N.  <N  N.  +N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   (/)c0 3218   class class class wbr 3755   omcom 4256  (class class class)co 5455    +o coa 5937   N.cnpi 6256    +N cpli 6257    <N clti 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-ni 6288  df-pli 6289  df-lti 6291
This theorem is referenced by:  ltexnqq  6391
  Copyright terms: Public domain W3C validator