Theorem ltexpi 6321

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> E.x e. N. (A +N x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6293	. . 3 |- (A e. N. -> A e. om)
2		pinn 6293	. . 3 |- (B e. N. -> B e. om)
3		nnaordex 6036	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ( (/) e. x /\ (A +o x) = B)))
4	1, 2, 3	syl2an 273	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A e. B <-> E.x e. om ( (/) e. x /\ (A +o x) = B)))
5		ltpiord 6303	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
6		addpiord 6300	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ x e. N.) -> (A +N x) = (A +o x))
7	6	eqeq1d 2045	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ x e. N.) -> ((A +N x) = B <-> (A +o x) = B))
8	7	pm5.32da 425	. . . . 5 |- (A e. N. -> ((x e. N. /\ (A +N x) = B) <-> (x e. N. /\ (A +o x) = B)))
9		elni2 6298	. . . . . . 7 |- (x e. N. <-> (x e. om /\ (/) e. x))
10	9	anbi1i 431	. . . . . 6 |- ((x e. N. /\ (A +o x) = B) <-> ((x e. om /\ (/) e. x) /\ (A +o x) = B))
11		anass 381	. . . . . 6 |- (((x e. om /\ (/) e. x) /\ (A +o x) = B) <-> (x e. om /\ ( (/) e. x /\ (A +o x) = B)))
12	10, 11	bitri 173	. . . . 5 |- ((x e. N. /\ (A +o x) = B) <-> (x e. om /\ ( (/) e. x /\ (A +o x) = B)))
13	8, 12	syl6bb 185	. . . 4 |- (A e. N. -> ((x e. N. /\ (A +N x) = B) <-> (x e. om /\ ( (/) e. x /\ (A +o x) = B))))
14	13	rexbidv2 2323	. . 3 |- (A e. N. -> (E.x e. N. (A +N x) = B <-> E.x e. om ( (/) e. x /\ (A +o x) = B)))
15	14	adantr 261	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (E.x e. N. (A +N x) = B <-> E.x e. om ( (/) e. x /\ (A +o x) = B)))
16	4, 5, 15	3bitr4d 209	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> E.x e. N. (A +N x) = B))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390  E.wrex 2301   (/)c0 3218   class class class wbr 3755   omcom 4256  (class class class)co 5455   +o coa 5937   N.cnpi 6256   +N cpli 6257   <N clti 6259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-ni 6288  df-pli 6289  df-lti 6291

This theorem is referenced by:  ltexnqq  6391