ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq Structured version   Unicode version

Theorem ltexnqq 6391
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq  Q.  Q.  <Q  Q.  +Q
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . . 3  Q.  N.  X.  N. /.  ~Q
2 breq1 3758 . . . 4  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q
3 oveq1 5462 . . . . . 6  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  +Q  +Q
43eqeq1d 2045 . . . . 5  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >. 
~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q
54rexbidv 2321 . . . 4  <. ,  >. 
~Q  Q.  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q  Q.  +Q  <. ,  >. 
~Q
62, 5imbi12d 223 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  <Q 
<. ,  >. 
~Q  Q.  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >. 
~Q 
<Q  <. , 
>.  ~Q  Q.  +Q  <. , 
>.  ~Q
7 breq2 3759 . . . 4  <. ,  >. 
~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <Q
8 eqeq2 2046 . . . . 5  <. ,  >. 
~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q  +Q
98rexbidv 2321 . . . 4  <. ,  >. 
~Q  Q.  +Q  <. ,  >.  ~Q  Q.  +Q
107, 9imbi12d 223 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  Q.  +Q  <. ,  >.  ~Q  <Q  Q.  +Q
11 ordpipqqs 6358 . . . 4  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. , 
>.  ~Q  .N  <N  .N
12 mulclpi 6312 . . . . . . . . 9  N.  N.  .N  N.
13 mulclpi 6312 . . . . . . . . 9  N.  N.  .N  N.
1412, 13anim12i 321 . . . . . . . 8  N.  N.  N.  N.  .N 
N.  .N  N.
1514an42s 523 . . . . . . 7  N.  N.  N.  N.  .N 
N.  .N  N.
16 ltexpi 6321 . . . . . . 7  .N  N.  .N 
N.  .N  <N  .N  N.  .N  +N  .N
1715, 16syl 14 . . . . . 6  N.  N.  N.  N.  .N  <N  .N  N.  .N  +N  .N
18 df-rex 2306 . . . . . 6  N.  .N  +N  .N  N.  .N  +N  .N
1917, 18syl6bb 185 . . . . 5  N.  N.  N.  N.  .N  <N  .N  N.  .N  +N  .N
20 simpll 481 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  N.  N.  N.  N.  N.
21 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  N.  N.  N.  N.
22 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15  N.  N.  N.
23 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15  N.  N.  N.
2422, 23anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  N.  N.  N. 
N.  N.
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 
N.  N.  N.  N.  N.  N.  N.
26 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  .N  N.
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  N.
2820, 21, 27jca32 293 . . . . . . . . . . 11 
N.  N.  N.  N.  N. 
N.  N.  N.  .N 
N.
2928adantrr 448 . . . . . . . . . 10 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N 
N.  N.  N.  .N 
N.
30 addpipqqs 6354 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  .N  N.  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  .N 
>.  ~Q  <.  .N  .N  +N  .N  ,  .N  .N  >.  ~Q
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <. ,  >.  ~Q  +Q 
<. ,  .N  >. 
~Q  <.  .N  .N  +N  .N  ,  .N  .N  >.  ~Q
32 simplll 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.
33 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.
34 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.
35 mulcompig 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  N.  N.  .N  .N
3635adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15  N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.  N.  .N  .N
37 mulasspig 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  N.  N.  h  N.  .N  .N  h  .N  .N  h
3837adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15  N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.  N.  h  N.  .N  .N  h  .N  .N  h
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5624 . . . . . . . . . . . . . 14 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .N  .N  .N  .N
4039oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .N  .N  +N  .N  .N  .N  +N  .N
4132, 34, 12syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .N  N.
42 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.
43 distrpig 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  .N  N.  N.  .N  .N  +N  .N  .N  +N  .N
4433, 41, 42, 43syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .N  .N  +N  .N  .N  +N  .N
4540, 44eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .N  .N  +N  .N  .N  .N  +N
4645opeq1d 3546 . . . . . . . . . . 11 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <.  .N  .N  +N  .N  ,  .N  .N  >.  <.  .N  .N  +N  ,  .N  .N  >.
4746eceq1d 6078 . . . . . . . . . 10 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <.  .N  .N  +N  .N  ,  .N  .N  >.  ~Q  <.  .N  .N  +N  ,  .N  .N  >.  ~Q
48 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . 13 
N.  N.  N.  N.  N.  N.
4912ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  N.  N.  N.  .N  N.
50 addclpi 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  .N  N.  N.  .N  +N 
N.
5149, 50sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  N.
5248, 51, 273jca 1083 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  N.  .N 
N.
5352adantrr 448 . . . . . . . . . . 11 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.  .N  +N  N.  .N 
N.
54 mulcanenqec 6370 . . . . . . . . . . 11  N.  .N  +N 
N.  .N  N.  <.  .N  .N  +N  ,  .N  .N 
>.  ~Q  <.  .N  +N  ,  .N  >.  ~Q
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <.  .N  .N  +N  ,  .N  .N  >.  ~Q  <.  .N  +N  ,  .N  >. 
~Q
5647, 55eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <.  .N  .N  +N  .N  ,  .N  .N  >.  ~Q  <.  .N  +N  ,  .N  >. 
~Q
57 3anass 888 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  N.  N.  N.  N.  N.
5857biimpri 124 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  N. 
N.  N.  N.
5958adantll 445 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  N.  N. 
N.  N.  N.
6059anim1i 323 . . . . . . . . . . 11 
N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.  N.  N.  .N  +N  .N
6160adantrl 447 . . . . . . . . . 10 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N 
N.  N.  N.  .N  +N  .N
62 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . 12  .N  +N  .N  <.  .N  +N  ,  .N  >. 
<.  .N  ,  .N  >.
6362eceq1d 6078 . . . . . . . . . . 11  .N  +N  .N  <.  .N  +N  ,  .N  >.  ~Q  <.  .N  ,  .N  >. 
~Q
64 mulcanenqec 6370 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  N.  <.  .N  ,  .N  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q
6563, 64sylan9eqr 2091 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <.  .N  +N  ,  .N  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <.  .N  +N  ,  .N  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q
6731, 56, 663eqtrd 2073 . . . . . . . 8 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <. ,  >.  ~Q  +Q 
<. ,  .N  >. 
~Q  <. ,  >. 
~Q
6833, 34, 26syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .N  N.
69 opelxpi 4319 . . . . . . . . . . . 12  N.  .N  N.  <. ,  .N 
>.  N.  X.  N.
70 enqex 6344 . . . . . . . . . . . . 13  ~Q  _V
7170ecelqsi 6096 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  .N  >.  N.  X.  N.  <. ,  .N 
>.  ~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11  N.  .N  N.  <. ,  .N 
>.  ~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
7342, 68, 72syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <. ,  .N 
>.  ~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
7473, 1syl6eleqr 2128 . . . . . . . . 9 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <. ,  .N 
>.  ~Q  Q.
75 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11  <. ,  .N  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >. 
~Q  +Q  <. ,  .N  >.  ~Q
7675eqeq1d 2045 . . . . . . . . . 10  <. ,  .N  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  +Q 
<. ,  .N  >. 
~Q  <. ,  >. 
~Q
7776adantl 262 . . . . . . . . 9  N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <. ,  .N  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  +Q  <. ,  .N  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q
7874, 77rspcedv 2654 . . . . . . . 8 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  .N 
>.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  Q.  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7 
N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  Q.  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q
8079ex 108 . . . . . 6  N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  Q.  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >. 
~Q
8180exlimdv 1697 . . . . 5  N.  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  Q.  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q
8219, 81sylbid 139 . . . 4  N.  N.  N.  N.  .N  <N  .N  Q.  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q
8311, 82sylbid 139 . . 3  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. , 
>.  ~Q  Q.  <. , 
>.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q
841, 6, 10, 832ecoptocl 6130 . 2  Q.  Q.  <Q  Q.  +Q
85 ltaddnq 6390 . . . . 5  Q.  Q.  <Q  +Q
86 breq2 3759 . . . . 5  +Q  <Q  +Q  <Q
8785, 86syl5ibcom 144 . . . 4  Q.  Q.  +Q  <Q
8887rexlimdva 2427 . . 3  Q.  Q.  +Q 
<Q
8988adantr 261 . 2  Q.  Q. 
Q.  +Q  <Q
9084, 89impbid 120 1  Q.  Q.  <Q  Q.  +Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755    X. cxp 4286  (class class class)co 5455  cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256    +N cpli 6257    .N cmi 6258    <N clti 6259    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltexnqi  6392  addlocpr  6519  ltexprlemopl  6575  ltexprlemopu  6577  ltexprlemrl  6584  ltexprlemru  6586  cauappcvgprlemopl  6618  caucvgprlemopl  6640
  Copyright terms: Public domain W3C validator