ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq Unicode version

Theorem ltexnqq 6487
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables  f  g  h  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6427 . . 3  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3764 . . . 4  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
3 oveq1 5506 . . . . . 6  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  ( A  +Q  x ) )
43eqeq1d 2048 . . . . 5  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
54rexbidv 2324 . . . 4  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( E. x  e. 
Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
62, 5imbi12d 223 . . 3  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )  <->  ( A  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) ) )
7 breq2 3765 . . . 4  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
8 eqeq2 2049 . . . . 5  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( A  +Q  x )  =  B ) )
98rexbidv 2324 . . . 4  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( E. x  e. 
Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B ) )
107, 9imbi12d 223 . . 3  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. w ,  v >. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )  <->  ( A  <Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) ) )
11 ordpipqqs 6453 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
) ) )
12 mulclpi 6407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( y  .N  v
)  e.  N. )
13 mulclpi 6407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  w
)  e.  N. )
1412, 13anim12i 321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v )  e.  N.  /\  (
z  .N  w )  e.  N. ) )
1514an42s 523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v )  e.  N.  /\  (
z  .N  w )  e.  N. ) )
16 ltexpi 6416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  ( z  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  <N  (
z  .N  w )  <->  E. u  e.  N.  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
1715, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  <->  E. u  e.  N.  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
18 df-rex 2309 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  N.  (
( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  <->  E. u
( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
1917, 18syl6bb 185 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  <->  E. u ( u  e.  N.  /\  (
( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w ) ) ) )
20 simpll 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )
21 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  u  e. 
N. )
22 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  z  e.  N. )
23 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  v  e.  N. )
2422, 23anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  v  e. 
N. ) )
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. ) )
26 mulclpi 6407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  v )  e. 
N. )
2820, 21, 27jca32 293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
) )
2928adantrr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
) )
30 addpipqqs 6449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( y  .N  (
z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v
) ) >. ]  ~Q  )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  )
32 simplll 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
y  e.  N. )
33 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
z  e.  N. )
34 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
v  e.  N. )
35 mulcompig 6410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
3635adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )
)  ->  ( f  .N  g )  =  ( g  .N  f ) )
37 mulasspig 6411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
3837adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )
)  ->  ( (
f  .N  g )  .N  h )  =  ( f  .N  (
g  .N  h ) ) )
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( y  .N  (
z  .N  v ) )  =  ( z  .N  ( y  .N  v ) ) )
4039oveq1d 5514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4132, 34, 12syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( y  .N  v
)  e.  N. )
42 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  u  e.  N. )
43 distrpig 6412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4433, 41, 42, 43syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4540, 44eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) )  =  ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u ) ) )
4645opeq1d 3552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  <. ( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) ) >.  =  <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. )
4746eceq1d 6129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) ) >. ]  ~Q  )
48 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  z  e. 
N. )
4912ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  v )  e.  N. )
50 addclpi 6406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N. )
5149, 50sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  +N  u )  e. 
N. )
5248, 51, 273jca 1084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  e.  N.  /\  (
( y  .N  v
)  +N  u )  e.  N.  /\  (
z  .N  v )  e.  N. ) )
5352adantrr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
)
54 mulcanenqec 6465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
5647, 55eqtrd 2072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
57 3anass 889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  <->  ( z  e.  N.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. ) ) )
5857biimpri 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N.  /\  v  e.  N. ) )
5958adantll 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N.  /\  v  e.  N. ) )
6059anim1i 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( (
y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) )  ->  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
6160adantrl 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w ) ) )
62 opeq1 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  ->  <. (
( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >.  =  <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v ) >. )
6362eceq1d 6129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  ->  [ <. ( ( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )
64 mulcanenqec 6465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6563, 64sylan9eqr 2094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) )  ->  [ <. (
( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u ) ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
6731, 56, 663eqtrd 2076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6833, 34, 26syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  .N  v
)  e.  N. )
69 opelxpi 4363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  -> 
<. u ,  ( z  .N  v ) >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
70 enqex 6439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~Q  e.  _V
7170ecelqsi 6147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
u ,  ( z  .N  v ) >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
7342, 68, 72syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
7473, 1syl6eleqr 2131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  Q. )
75 oveq2 5507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ) )
7675eqeq1d 2048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ->  ( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
7776adantl 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  ->  ( ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
7874, 77rspcedv 2657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
8079ex 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8180exlimdv 1700 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( E. u ( u  e. 
N.  /\  ( (
y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8219, 81sylbid 139 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8311, 82sylbid 139 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
841, 6, 10, 832ecoptocl 6181 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B ) )
85 ltaddnq 6486 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  A  <Q  ( A  +Q  x ) )
86 breq2 3765 . . . . 5  |-  ( ( A  +Q  x )  =  B  ->  ( A  <Q  ( A  +Q  x )  <->  A  <Q  B ) )
8785, 86syl5ibcom 144 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( A  +Q  x )  =  B  ->  A  <Q  B ) )
8887rexlimdva 2430 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B  ->  A  <Q  B ) )
8988adantr 261 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. x  e. 
Q.  ( A  +Q  x )  =  B  ->  A  <Q  B ) )
9084, 89impbid 120 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   E.wrex 2304   <.cop 3375   class class class wbr 3761    X. cxp 4330  (class class class)co 5499   [cec 6091   /.cqs 6092   N.cnpi 6351    +N cpli 6352    .N cmi 6353    <N clti 6354    ~Q ceq 6358   Q.cnq 6359    +Q cplq 6361    <Q cltq 6364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-ltnqqs 6432
This theorem is referenced by:  ltexnqi  6488  addlocpr  6615  ltexprlemopl  6680  ltexprlemopu  6682  ltexprlemrl  6689  ltexprlemru  6691  cauappcvgprlemopl  6725  caucvgprlemopl  6748  caucvgprprlemopl  6776
  Copyright terms: Public domain W3C validator