Theorem ltexnqq 6391

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqq	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.x e. Q. (A +Q x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexnqq

Dummy variables f g h y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6332	. . 3 |- Q. = (( N. X. N.) /. ~Q )
2		breq1 3758	. . . 4 |- ([ <.y , z >.] ~Q = A -> ([ <.y , z >.] ~Q <Q [ <.w , v >.] ~Q <-> A <Q [ <.w , v >.] ~Q ))
3		oveq1 5462	. . . . . 6 |- ([ <.y , z >.] ~Q = A -> ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = (A +Q x))
4	3	eqeq1d 2045	. . . . 5 |- ([ <.y , z >.] ~Q = A -> (([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q <-> (A +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ))
5	4	rexbidv 2321	. . . 4 |- ([ <.y , z >.] ~Q = A -> (E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q <-> E.x e. Q. (A +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ))
6	2, 5	imbi12d 223	. . 3 |- ([ <.y , z >.] ~Q = A -> (([ <.y , z >.] ~Q <Q [ <.w , v >.] ~Q -> E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ) <-> (A <Q [ <.w , v >.] ~Q -> E.x e. Q. (A +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q )))
7		breq2 3759	. . . 4 |- ([ <.w , v >.] ~Q = B -> (A <Q [ <.w , v >.] ~Q <-> A <Q B))
8		eqeq2 2046	. . . . 5 |- ([ <.w , v >.] ~Q = B -> ((A +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q <-> (A +Q x) = B))
9	8	rexbidv 2321	. . . 4 |- ([ <.w , v >.] ~Q = B -> (E.x e. Q. (A +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q <-> E.x e. Q. (A +Q x) = B))
10	7, 9	imbi12d 223	. . 3 |- ([ <.w , v >.] ~Q = B -> ((A <Q [ <.w , v >.] ~Q -> E.x e. Q. (A +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ) <-> (A <Q B -> E.x e. Q. (A +Q x) = B)))
11		ordpipqqs 6358	. . . 4 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ([ <.y , z >.] ~Q <Q [ <.w , v >.] ~Q <-> (y .N v) <N (z .N w)))
12		mulclpi 6312	. . . . . . . . 9 |- ((y e. N. /\ v e. N.) -> (y .N v) e. N.)
13		mulclpi 6312	. . . . . . . . 9 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> (z .N w) e. N.)
14	12, 13	anim12i 321	. . . . . . . 8 |- (((y e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((y .N v) e. N. /\ (z .N w) e. N.))
15	14	an42s 523	. . . . . . 7 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((y .N v) e. N. /\ (z .N w) e. N.))
16		ltexpi 6321	. . . . . . 7 |- (((y .N v) e. N. /\ (z .N w) e. N.) -> ((y .N v) <N (z .N w) <-> E.u e. N. ((y .N v) +N u) = (z .N w)))
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((y .N v) <N (z .N w) <-> E.u e. N. ((y .N v) +N u) = (z .N w)))
18		df-rex 2306	. . . . . 6 |- (E.u e. N. ((y .N v) +N u) = (z .N w) <-> E.u(u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)))
19	17, 18	syl6bb 185	. . . . 5 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((y .N v) <N (z .N w) <-> E.u(u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))))
20		simpll 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (y e. N. /\ z e. N.))
21		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> u e. N.)
22		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> z e. N.)
23		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> v e. N.)
24	22, 23	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (z e. N. /\ v e. N.))
25	24	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (z e. N. /\ v e. N.))
26		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. N. /\ v e. N.) -> (z .N v) e. N.)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (z .N v) e. N.)
28	20, 21, 27	jca32 293	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> ((y e. N. /\ z e. N.) /\ (u e. N. /\ (z .N v) e. N.)))
29	28	adantrr 448	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ((y e. N. /\ z e. N.) /\ (u e. N. /\ (z .N v) e. N.)))
30		addpipqqs 6354	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (u e. N. /\ (z .N v) e. N.)) -> ([ <.y , z >.] ~Q +Q [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ) = [ <.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) , (z .N (z .N v)) >.] ~Q )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ([ <.y , z >.] ~Q +Q [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ) = [ <.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) , (z .N (z .N v)) >.] ~Q )
32		simplll 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> y e. N.)
33		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> z e. N.)
34		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> v e. N.)
35		mulcompig 6315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f e. N. /\ g e. N.) -> (f .N g) = (g .N f))
36	35	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) /\ (f e. N. /\ g e. N.)) -> (f .N g) = (g .N f))
37		mulasspig 6316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N.) -> ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h)))
38	37	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) /\ (f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N.)) -> ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h)))
39	32, 33, 34, 36, 38	caov12d 5624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> (y .N (z .N v)) = (z .N (y .N v)))
40	39	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) = ((z .N (y .N v)) +N (z .N u)))
41	32, 34, 12	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> (y .N v) e. N.)
42		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> u e. N.)
43		distrpig 6317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. N. /\ (y .N v) e. N. /\ u e. N.) -> (z .N ((y .N v) +N u)) = ((z .N (y .N v)) +N (z .N u)))
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> (z .N ((y .N v) +N u)) = ((z .N (y .N v)) +N (z .N u)))
45	40, 44	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) = (z .N ((y .N v) +N u)))
46	45	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> <.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) , (z .N (z .N v)) >. = <.(z .N ((y .N v) +N u)) , (z .N (z .N v)) >.)
47	46	eceq1d 6078	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [ <.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) , (z .N (z .N v)) >.] ~Q = [ <.(z .N ((y .N v) +N u)) , (z .N (z .N v)) >.] ~Q )
48		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> z e. N.)
49	12	ad2ant2rl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (y .N v) e. N.)
50		addclpi 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y .N v) e. N. /\ u e. N.) -> ((y .N v) +N u) e. N.)
51	49, 50	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> ((y .N v) +N u) e. N.)
52	48, 51, 27	3jca 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (z e. N. /\ ((y .N v) +N u) e. N. /\ (z .N v) e. N.))
53	52	adantrr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> (z e. N. /\ ((y .N v) +N u) e. N. /\ (z .N v) e. N.))
54		mulcanenqec 6370	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. N. /\ ((y .N v) +N u) e. N. /\ (z .N v) e. N.) -> [ <.(z .N ((y .N v) +N u)) , (z .N (z .N v)) >.] ~Q = [ <.((y .N v) +N u) , (z .N v) >.] ~Q )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [ <.(z .N ((y .N v) +N u)) , (z .N (z .N v)) >.] ~Q = [ <.((y .N v) +N u) , (z .N v) >.] ~Q )
56	47, 55	eqtrd 2069	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [ <.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) , (z .N (z .N v)) >.] ~Q = [ <.((y .N v) +N u) , (z .N v) >.] ~Q )
57		3anass 888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) <-> (z e. N. /\ (w e. N. /\ v e. N.)))
58	57	biimpri 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. N. /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.))
59	58	adantll 445	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.))
60	59	anim1i 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)))
61	60	adantrl 447	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)))
62		opeq1 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y .N v) +N u) = (z .N w) -> <.((y .N v) +N u) , (z .N v) >. = <.(z .N w) , (z .N v) >.)
63	62	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . 11 |- (((y .N v) +N u) = (z .N w) -> [ <.((y .N v) +N u) , (z .N v) >.] ~Q = [ <.(z .N w) , (z .N v) >.] ~Q )
64		mulcanenqec 6370	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) -> [ <.(z .N w) , (z .N v) >.] ~Q = [ <.w , v >.] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 2091	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> [ <.((y .N v) +N u) , (z .N v) >.] ~Q = [ <.w , v >.] ~Q )
66	61, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [ <.((y .N v) +N u) , (z .N v) >.] ~Q = [ <.w , v >.] ~Q )
67	31, 56, 66	3eqtrd 2073	. . . . . . . 8 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ([ <.y , z >.] ~Q +Q [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ) = [ <.w , v >.] ~Q )
68	33, 34, 26	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> (z .N v) e. N.)
69		opelxpi 4319	. . . . . . . . . . . 12 |- ((u e. N. /\ (z .N v) e. N.) -> <.u , (z .N v) >. e. ( N. X. N.))
70		enqex 6344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~Q e. _V
71	70	ecelqsi 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <.u , (z .N v) >. e. ( N. X. N.) -> [ <.u , (z .N v) >.] ~Q e. (( N. X. N.) /. ~Q ))
72	69, 71	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ((u e. N. /\ (z .N v) e. N.) -> [ <.u , (z .N v) >.] ~Q e. (( N. X. N.) /. ~Q ))
73	42, 68, 72	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [ <.u , (z .N v) >.] ~Q e. (( N. X. N.) /. ~Q ))
74	73, 1	syl6eleqr 2128	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [ <.u , (z .N v) >.] ~Q e. Q.)
75		oveq2 5463	. . . . . . . . . . 11 |- (x = [ <.u , (z .N v) >.] ~Q -> ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = ([ <.y , z >.] ~Q +Q [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ))
76	75	eqeq1d 2045	. . . . . . . . . 10 |- (x = [ <.u , (z .N v) >.] ~Q -> (([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q <-> ([ <.y , z >.] ~Q +Q [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ) = [ <.w , v >.] ~Q ))
77	76	adantl 262	. . . . . . . . 9 |- (((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) /\ x = [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ) -> (([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q <-> ([ <.y , z >.] ~Q +Q [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ) = [ <.w , v >.] ~Q ))
78	74, 77	rspcedv 2654	. . . . . . . 8 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> (([ <.y , z >.] ~Q +Q [ <.u , (z .N v) >.] ~Q ) = [ <.w , v >.] ~Q -> E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ))
79	67, 78	mpd 13	. . . . . . 7 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q )
80	79	ex 108	. . . . . 6 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ))
81	80	exlimdv 1697	. . . . 5 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (E.u(u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ))
82	19, 81	sylbid 139	. . . 4 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((y .N v) <N (z .N w) -> E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ))
83	11, 82	sylbid 139	. . 3 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ([ <.y , z >.] ~Q <Q [ <.w , v >.] ~Q -> E.x e. Q. ([ <.y , z >.] ~Q +Q x) = [ <.w , v >.] ~Q ))
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 6130	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> E.x e. Q. (A +Q x) = B))
85		ltaddnq 6390	. . . . 5 |- ((A e. Q. /\ x e. Q.) -> A <Q (A +Q x))
86		breq2 3759	. . . . 5 |- ((A +Q x) = B -> (A <Q (A +Q x) <-> A <Q B))
87	85, 86	syl5ibcom 144	. . . 4 |- ((A e. Q. /\ x e. Q.) -> ((A +Q x) = B -> A <Q B))
88	87	rexlimdva 2427	. . 3 |- (A e. Q. -> (E.x e. Q. (A +Q x) = B -> A <Q B))
89	88	adantr 261	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (E.x e. Q. (A +Q x) = B -> A <Q B))
90	84, 89	impbid 120	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.x e. Q. (A +Q x) = B))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390  E.wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755   X. cxp 4286  (class class class)co 5455  [cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256   +N cpli 6257   .N cmi 6258   <N clti 6259   ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  ltexnqi  6392  addlocpr  6519  ltexprlemopl  6575  ltexprlemopu  6577  ltexprlemrl  6584  ltexprlemru  6586  cauappcvgprlemopl  6618  caucvgprlemopl  6640