Theorem ltpiord 6417

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership. (Contributed by NM, 6-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lti 6405	. . 3 |- <N = ( _E i^i ( N. X. N. ) )
2	1	breqi 3770	. 2 |- ( A <N B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B )
3		brinxp 4408	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B ) )
4		epelg 4027	. . . 4 |- ( B e. N. -> ( A _E B <-> A e. B ) )
5	4	adantl 262	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A e. B ) )
6	3, 5	bitr3d 179	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B <-> A e. B ) )
7	2, 6	syl5bb 181	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   i^i cin 2916   class class class wbr 3764   _E cep 4024   X. cxp 4343   N.cnpi 6370   <N clti 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-eprel 4026  df-xp 4351  df-lti 6405

This theorem is referenced by:  ltsopi  6418  pitric  6419  pitri3or  6420  ltdcpi  6421  ltexpi  6435  ltapig  6436  ltmpig  6437  1lt2pi  6438  nlt1pig  6439  archnqq  6515  prarloclemarch2  6517  prarloclemlt  6591  prarloclemn  6597