ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmpig Structured version   Unicode version

Theorem ltmpig 6323
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmpig  N.  N.  C  N.  <N  C  .N  <N  C  .N

Proof of Theorem ltmpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6293 . . . . 5  N.  om
2 pinn 6293 . . . . 5  N.  om
3 elni2 6298 . . . . . 6  C  N.  C  om  (/)  C
4 iba 284 . . . . . . . . 9  (/)  C  (/)  C
5 nnmord 6026 . . . . . . . . 9  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
64, 5sylan9bbr 436 . . . . . . . 8  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
763exp1 1119 . . . . . . 7  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
87imp4b 332 . . . . . 6  om  om  C 
om  (/)  C  C  .o  C  .o
93, 8syl5bi 141 . . . . 5  om  om  C  N.  C  .o  C  .o
101, 2, 9syl2an 273 . . . 4  N.  N.  C  N.  C  .o  C  .o
1110imp 115 . . 3  N.  N.  C  N.  C  .o  C  .o
12 ltpiord 6303 . . . 4  N.  N.  <N
1312adantr 261 . . 3  N.  N.  C  N.  <N
14 mulclpi 6312 . . . . . . 7  C  N.  N.  C  .N  N.
15 mulclpi 6312 . . . . . . 7  C  N.  N.  C  .N  N.
16 ltpiord 6303 . . . . . . 7  C  .N  N.  C  .N 
N.  C  .N  <N  C  .N  C  .N  C  .N
1714, 15, 16syl2an 273 . . . . . 6  C  N.  N.  C  N.  N.  C  .N  <N  C  .N  C  .N  C  .N
18 mulpiord 6301 . . . . . . . 8  C  N.  N.  C  .N  C  .o
1918adantr 261 . . . . . . 7  C  N.  N.  C  N.  N.  C  .N  C  .o
20 mulpiord 6301 . . . . . . . 8  C  N.  N.  C  .N  C  .o
2120adantl 262 . . . . . . 7  C  N.  N.  C  N.  N.  C  .N  C  .o
2219, 21eleq12d 2105 . . . . . 6  C  N.  N.  C  N.  N.  C  .N  C  .N  C  .o  C  .o
2317, 22bitrd 177 . . . . 5  C  N.  N.  C  N.  N.  C  .N  <N  C  .N  C  .o  C  .o
2423anandis 526 . . . 4  C  N.  N.  N.  C  .N  <N  C  .N  C  .o  C  .o
2524ancoms 255 . . 3  N.  N.  C  N.  C  .N  <N  C  .N  C  .o  C  .o
2611, 13, 253bitr4d 209 . 2  N.  N.  C  N.  <N  C  .N  <N  C  .N
27263impa 1098 1  N.  N.  C  N.  <N  C  .N  <N  C  .N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   (/)c0 3218   class class class wbr 3755   omcom 4256  (class class class)co 5455    .o comu 5938   N.cnpi 6256    .N cmi 6258    <N clti 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291
This theorem is referenced by:  ordpipqqs  6358  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  1lt2nq  6389
  Copyright terms: Public domain W3C validator