ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemn Unicode version

Theorem prarloclemn 6597
Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 6601. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemn  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem prarloclemn
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . 3  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  N  e.  N. )
2 1pi 6413 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
3 ltpiord 6417 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  N  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  N  <->  1o  e.  N ) )
42, 3mpan 400 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1o  <N  N  <->  1o  e.  N ) )
54biimpa 280 . . 3  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  1o  e.  N )
6 piord 6409 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  Ord  N )
7 ordsucss 4230 . . . 4  |-  ( Ord 
N  ->  ( 1o  e.  N  ->  suc  1o  C_  N ) )
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1o  e.  N  ->  suc  1o  C_  N ) )
91, 5, 8sylc 56 . 2  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  suc  1o  C_  N )
10 df-2o 6002 . . . 4  |-  2o  =  suc  1o
1110sseq1i 2969 . . 3  |-  ( 2o  C_  N  <->  suc  1o  C_  N
)
12 pinn 6407 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  N  e.  om )
13 2onn 6094 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
14 nnawordex 6101 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  N  e.  om )  ->  ( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1513, 14mpan 400 . . . . 5  |-  ( N  e.  om  ->  ( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1612, 15syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1716adantr 261 . . 3  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  -> 
( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1811, 17syl5bbr 183 . 2  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  -> 
( suc  1o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
199, 18mpbid 135 1  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x
)  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   E.wrex 2307    C_ wss 2917   class class class wbr 3764   Ord word 4099   suc csuc 4102   omcom 4313  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   2oc2o 5995    +o coa 5998   N.cnpi 6370    <N clti 6373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-ni 6402  df-lti 6405
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6598
  Copyright terms: Public domain W3C validator