ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsopi Unicode version

Theorem ltsopi 6418
Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltsopi  |-  <N  Or  N.

Proof of Theorem ltsopi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 4272 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  x
2 ltpiord 6417 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
32anidms 377 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  (
x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
41, 3mtbiri 600 . . . . 5  |-  ( x  e.  N.  ->  -.  x  <N  x )
54adantl 262 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
N. )  ->  -.  x  <N  x )
6 pion 6408 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  On )
7 ontr1 4126 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  On  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
983ad2ant3 927 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
10 ltpiord 6417 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
11103adant3 924 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
12 ltpiord 6417 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
13123adant1 922 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
1411, 13anbi12d 442 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  <-> 
( x  e.  y  /\  y  e.  z ) ) )
15 ltpiord 6417 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
16153adant2 923 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
179, 14, 163imtr4d 192 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  ->  x  <N  z
) )
1817adantl 262 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e. 
N. ) )  -> 
( ( x  <N  y  /\  y  <N  z
)  ->  x  <N  z ) )
195, 18ispod 4041 . . 3  |-  ( T. 
->  <N  Po  N. )
20 pinn 6407 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
21 pinn 6407 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
22 nntri3or 6072 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2320, 21, 22syl2an 273 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
24 biidd 161 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
25 ltpiord 6417 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2625ancoms 255 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2710, 24, 263orbi123d 1206 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2823, 27mpbird 156 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
2928adantl 262 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. ) )  -> 
( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
3019, 29issod 4056 . 2  |-  ( T. 
->  <N  Or  N. )
3130trud 1252 1  |-  <N  Or  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ w3o 884    /\ w3a 885   T. wtru 1244    e. wcel 1393   class class class wbr 3764    Or wor 4032   Oncon0 4100   omcom 4313   N.cnpi 6370    <N clti 6373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-ni 6402  df-lti 6405
This theorem is referenced by:  ltsonq  6496
  Copyright terms: Public domain W3C validator