ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsopi Structured version   Unicode version

Theorem ltsopi 6304
Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltsopi  <N  Or  N.

Proof of Theorem ltsopi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 4226 . . . . . 6
2 ltpiord 6303 . . . . . . 7  N.  N.  <N
32anidms 377 . . . . . 6  N.  <N
41, 3mtbiri 599 . . . . 5  N.  <N
54adantl 262 . . . 4 
N.  <N
6 pion 6294 . . . . . . . 8  N.  On
7 ontr1 4092 . . . . . . . 8  On
86, 7syl 14 . . . . . . 7  N.
983ad2ant3 926 . . . . . 6  N.  N.  N.
10 ltpiord 6303 . . . . . . . 8  N.  N.  <N
11103adant3 923 . . . . . . 7  N.  N.  N.  <N
12 ltpiord 6303 . . . . . . . 8  N.  N.  <N
13123adant1 921 . . . . . . 7  N.  N.  N.  <N
1411, 13anbi12d 442 . . . . . 6  N.  N.  N.  <N  <N
15 ltpiord 6303 . . . . . . 7  N.  N.  <N
16153adant2 922 . . . . . 6  N.  N.  N.  <N
179, 14, 163imtr4d 192 . . . . 5  N.  N.  N.  <N  <N  <N
1817adantl 262 . . . 4  N.  N. 
N.  <N  <N  <N
195, 18ispod 4032 . . 3  <N  Po  N.
20 pinn 6293 . . . . . 6  N.  om
21 pinn 6293 . . . . . 6  N.  om
22 nntri3or 6011 . . . . . 6  om  om
2320, 21, 22syl2an 273 . . . . 5  N.  N.
24 biidd 161 . . . . . 6  N.  N.
25 ltpiord 6303 . . . . . . 7  N.  N.  <N
2625ancoms 255 . . . . . 6  N.  N.  <N
2710, 24, 263orbi123d 1205 . . . . 5  N.  N.  <N  <N
2823, 27mpbird 156 . . . 4  N.  N.  <N  <N
2928adantl 262 . . 3  N.  N.  <N  <N
3019, 29issod 4047 . 2  <N  Or  N.
3130trud 1251 1  <N  Or  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   w3o 883   w3a 884   wtru 1243   wcel 1390   class class class wbr 3755    Or wor 4023   Oncon0 4066   omcom 4256   N.cnpi 6256    <N clti 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-ni 6288  df-lti 6291
This theorem is referenced by:  ltsonq  6382
  Copyright terms: Public domain W3C validator