ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Structured version   Unicode version

Theorem prarloclemlt 6476
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  <Q  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6030 . . . . . . . . . . . 12  2o  om
2 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . 12  om  2o  om  +o  2o  om
31, 2mpan2 401 . . . . . . . . . . 11  om  +o  2o 
om
4 nnaword1 6022 . . . . . . . . . . 11  +o  2o  om  X  om  +o  2o  C_  +o  2o  +o  X
53, 4sylan 267 . . . . . . . . . 10  om  X  om  +o  2o  C_  +o  2o  +o  X
6 1onn 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  1o  om
76elexi 2561 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  _V
87sucid 4120 . . . . . . . . . . . . 13  1o  suc  1o
9 df-2o 5941 . . . . . . . . . . . . 13  2o  suc  1o
108, 9eleqtrri 2110 . . . . . . . . . . . 12  1o  2o
11 nnaordi 6017 . . . . . . . . . . . . 13  2o  om  om  1o  2o  +o  1o  +o  2o
121, 11mpan 400 . . . . . . . . . . . 12  om  1o  2o  +o  1o  +o  2o
1310, 12mpi 15 . . . . . . . . . . 11  om  +o  1o  +o  2o
1413adantr 261 . . . . . . . . . 10  om  X  om  +o  1o  +o  2o
155, 14sseldd 2940 . . . . . . . . 9  om  X  om  +o  1o  +o  2o  +o  X
1615ancoms 255 . . . . . . . 8  X  om  om  +o  1o  +o  2o  +o  X
17 1pi 6299 . . . . . . . . . . 11  1o  N.
18 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . 11  om  1o  N.  +o  1o  N.
1917, 18mpan2 401 . . . . . . . . . 10  om  +o  1o 
N.
2019adantl 262 . . . . . . . . 9  X  om  om  +o  1o  N.
21 o1p1e2 5987 . . . . . . . . . . . . . 14  1o 
+o  1o  2o
22 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15  1o  om  1o  N.  1o  +o  1o  N.
236, 17, 22mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . 14  1o 
+o  1o 
N.
2421, 23eqeltrri 2108 . . . . . . . . . . . . 13  2o  N.
25 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . . . 13  om  2o  N.  +o  2o  N.
2624, 25mpan2 401 . . . . . . . . . . . 12  om  +o  2o 
N.
27 pinn 6293 . . . . . . . . . . . 12  +o  2o  N.  +o  2o 
om
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11  om  +o  2o 
om
29 nnacom 6002 . . . . . . . . . . 11  X  om  +o  2o  om  X  +o  +o  2o  +o  2o  +o  X
3028, 29sylan2 270 . . . . . . . . . 10  X  om  om  X  +o  +o  2o  +o  2o  +o  X
31 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . 11  X  om  +o  2o  N.  X  +o  +o  2o  N.
3226, 31sylan2 270 . . . . . . . . . 10  X  om  om  X  +o  +o  2o  N.
3330, 32eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9  X  om  om  +o  2o  +o  X  N.
34 ltpiord 6303 . . . . . . . . 9  +o  1o  N.  +o  2o  +o  X 
N.  +o  1o  <N  +o  2o  +o  X  +o  1o  +o  2o  +o  X
3520, 33, 34syl2anc 391 . . . . . . . 8  X  om  om  +o  1o  <N  +o  2o  +o  X  +o  1o  +o  2o  +o  X
3616, 35mpbird 156 . . . . . . 7  X  om  om  +o  1o  <N  +o  2o  +o  X
37 mulidpi 6302 . . . . . . . . 9  +o  1o  N.  +o  1o  .N  1o  +o  1o
3820, 37syl 14 . . . . . . . 8  X  om  om  +o  1o  .N  1o  +o  1o
39 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10  +o  2o  +o  X  N.  1o  N.  +o  2o  +o  X  .N  1o  1o  .N  +o  2o  +o  X
4033, 17, 39sylancl 392 . . . . . . . . 9  X  om  om  +o  2o  +o  X  .N  1o  1o  .N  +o  2o  +o  X
41 mulidpi 6302 . . . . . . . . . 10  +o  2o  +o  X 
N.  +o  2o  +o  X  .N  1o  +o  2o  +o  X
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9  X  om  om  +o  2o  +o  X  .N  1o  +o  2o  +o  X
4340, 42eqtr3d 2071 . . . . . . . 8  X  om  om  1o  .N  +o  2o  +o  X  +o  2o  +o  X
4438, 43breq12d 3768 . . . . . . 7  X  om  om  +o  1o  .N  1o  <N  1o 
.N  +o  2o  +o  X  +o  1o  <N  +o  2o  +o  X
4536, 44mpbird 156 . . . . . 6  X  om  om  +o  1o  .N  1o  <N  1o  .N  +o  2o  +o  X
46 simpr 103 . . . . . . 7  X  om  om  om
47 ordpipqqs 6358 . . . . . . . . . 10  +o  1o  N.  1o  N.  +o  2o  +o  X  N.  1o  N.  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  +o  1o  .N  1o  <N  1o  .N  +o  2o  +o  X
4817, 47mpanl2 411 . . . . . . . . 9  +o  1o  N.  +o  2o  +o  X 
N.  1o  N.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  +o  1o  .N  1o  <N  1o  .N  +o  2o  +o  X
4917, 48mpanr2 414 . . . . . . . 8  +o  1o  N.  +o  2o  +o  X 
N.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  +o  1o  .N  1o  <N  1o  .N  +o  2o  +o  X
5019, 49sylan 267 . . . . . . 7  om  +o  2o  +o  X 
N.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  +o  1o  .N  1o  <N  1o  .N  +o  2o  +o  X
5146, 33, 50syl2anc 391 . . . . . 6  X  om  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <Q 
<.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  +o  1o  .N  1o  <N  1o  .N  +o  2o  +o  X
5245, 51mpbird 156 . . . . 5  X  om  om  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
5352adantlr 446 . . . 4  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
54 opelxpi 4319 . . . . . . . . 9  +o  1o  N.  1o  N.  <.  +o  1o ,  1o >.  N.  X.  N.
5520, 17, 54sylancl 392 . . . . . . . 8  X  om  om  <.  +o  1o ,  1o >.  N.  X.  N.
56 enqex 6344 . . . . . . . . 9  ~Q  _V
5756ecelqsi 6096 . . . . . . . 8  <.  +o  1o ,  1o >.  N.  X.  N.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
5855, 57syl 14 . . . . . . 7  X  om  om  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
59 df-nqqs 6332 . . . . . . 7  Q.  N.  X.  N. /.  ~Q
6058, 59syl6eleqr 2128 . . . . . 6  X  om  om  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q.
6160adantlr 446 . . . . 5  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q.
62 opelxpi 4319 . . . . . . . . 9  +o  2o  +o  X  N.  1o  N.  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  N.  X.  N.
6333, 17, 62sylancl 392 . . . . . . . 8  X  om  om  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  N.  X.  N.
6456ecelqsi 6096 . . . . . . . 8  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  N.  X.  N.  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
6563, 64syl 14 . . . . . . 7  X  om  om  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
6665, 59syl6eleqr 2128 . . . . . 6  X  om  om  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  Q.
6766adantlr 446 . . . . 5  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  Q.
68 simplr3 947 . . . . 5  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  P  Q.
69 ltmnqg 6385 . . . . 5  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q. 
<.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  Q.  P 
Q.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  P  .Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  P  .Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
7061, 67, 68, 69syl3anc 1134 . . . 4  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <Q 
<.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  P  .Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  P  .Q 
<.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
7153, 70mpbid 135 . . 3  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  P  .Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  P  .Q 
<.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
72 mulcomnqg 6367 . . . . 5  P  Q. 
<.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  Q.  P  .Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P
7368, 61, 72syl2anc 391 . . . 4  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  P  .Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P
74 mulcomnqg 6367 . . . . 5  P  Q. 
<.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  Q.  P  .Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
7568, 67, 74syl2anc 391 . . . 4  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  P  .Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
7673, 75breq12d 3768 . . 3  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  P  .Q 
<.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  P  .Q 
<.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
7771, 76mpbid 135 . 2  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
78 mulclnq 6360 . . . 4  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q.  P  Q.  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.
7961, 68, 78syl2anc 391 . . 3  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.
80 mulclnq 6360 . . . 4  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  Q.  P  Q.  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.
8167, 68, 80syl2anc 391 . . 3  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.
82 simplr1 945 . . . 4  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <. L ,  U >.  P.
83 simplr2 946 . . . 4  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  L
84 elprnql 6464 . . . 4 
<. L ,  U >. 
P.  L  Q.
8582, 83, 84syl2anc 391 . . 3  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  Q.
86 ltanqg 6384 . . 3  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.  Q.  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  <Q  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
8779, 81, 85, 86syl3anc 1134 . 2  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  <Q  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
8877, 87mpbid 135 1  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  <Q  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   suc csuc 4068   omcom 4256    X. cxp 4286  (class class class)co 5455   1oc1o 5933   2oc2o 5934    +o coa 5937  cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256    .N cmi 6258    <N clti 6259    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    .Q cmq 6267    <Q cltq 6269   P.cnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6479
  Copyright terms: Public domain W3C validator