ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Unicode version

Theorem prarloclemlt 6589
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6599. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
2 nnacl 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  om )  -> 
( y  +o  2o )  e.  om )
31, 2mpan2 401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
4 nnaword1 6086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +o  2o )  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  (
y  +o  2o ) 
C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
53, 4sylan 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  2o )  C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
6 1onn 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  om
76elexi 2567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  _V
87sucid 4154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  suc  1o
9 df-2o 6002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
108, 9eleqtrri 2113 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  2o
11 nnaordi 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  e.  2o  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
121, 11mpan 400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
1310, 12mpi 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
1413adantr 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
155, 14sseldd 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
1615ancoms 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
17 1pi 6411 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  N.
18 nnppipi 6439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +o  1o )  e.  N. )
1917, 18mpan2 401 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  N. )
2019adantl 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  N. )
21 o1p1e2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  =  2o
22 nnppipi 6439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +o  1o )  e.  N. )
236, 17, 22mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  e. 
N.
2421, 23eqeltrri 2111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  N.
25 nnppipi 6439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  N. )  -> 
( y  +o  2o )  e.  N. )
2624, 25mpan2 401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  N. )
27 pinn 6405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  2o )  e.  N.  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
29 nnacom 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
3028, 29sylan2 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
31 nnppipi 6439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  N. )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3226, 31sylan2 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3330, 32eqeltrrd 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )
34 ltpiord 6415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  (
( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3520, 33, 34syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3616, 35mpbird 156 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
37 mulidpi 6414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  N.  ->  (
( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
3820, 37syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
39 mulcompig 6427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
4033, 17, 39sylancl 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
41 mulidpi 6414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N.  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
4340, 42eqtr3d 2074 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4438, 43breq12d 3777 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )  <->  ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
4536, 44mpbird 156 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
46 simpr 103 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
47 ordpipqqs 6470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4817, 47mpanl2 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4917, 48mpanr2 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5019, 49sylan 267 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5146, 33, 50syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5245, 51mpbird 156 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5352adantlr 446 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
54 opelxpi 4376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
5520, 17, 54sylancl 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
56 enqex 6456 . . . . . . . . 9  |-  ~Q  e.  _V
5756ecelqsi 6160 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
5855, 57syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
59 df-nqqs 6444 . . . . . . 7  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
6058, 59syl6eleqr 2131 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6160adantlr 446 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
62 opelxpi 4376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6333, 17, 62sylancl 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6456ecelqsi 6160 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
6563, 64syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
6665, 59syl6eleqr 2131 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6766adantlr 446 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
68 simplr3 948 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  P  e.  Q. )
69 ltmnqg 6497 . . . . 5  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7061, 67, 68, 69syl3anc 1135 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7153, 70mpbid 135 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
72 mulcomnqg 6479 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
7368, 61, 72syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
74 mulcomnqg 6479 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7568, 67, 74syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7673, 75breq12d 3777 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( P  .Q  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
7771, 76mpbid 135 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
78 mulclnq 6472 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
7961, 68, 78syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
80 mulclnq 6472 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
8167, 68, 80syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
82 simplr1 946 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. L ,  U >.  e. 
P. )
83 simplr2 947 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  L )
84 elprnql 6577 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L )  ->  A  e.  Q. )
8582, 83, 84syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  Q. )
86 ltanqg 6496 . . 3  |-  ( ( ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8779, 81, 85, 86syl3anc 1135 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8877, 87mpbid 135 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393    C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   suc csuc 4102   omcom 4313    X. cxp 4343  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   2oc2o 5995    +o coa 5998   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6368    .N cmi 6370    <N clti 6371    ~Q ceq 6375   Q.cnq 6376    +Q cplq 6378    .Q cmq 6379    <Q cltq 6381   P.cnp 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-ltnqqs 6449  df-inp 6562
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6592
  Copyright terms: Public domain W3C validator