ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  epelg Structured version   Unicode version

Theorem epelg 4018
Description: The epsilon relation and membership are the same. General version of epel 4020. (Contributed by Scott Fenton, 27-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
epelg  V  _E

Proof of Theorem epelg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 3756 . . . 4  _E  <. ,  >.  _E
2 elopab 3986 . . . . . 6  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  } 
<. ,  >. 
<. ,  >.
3 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 
_V
4 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 
_V
53, 4pm3.2i 257 . . . . . . . . . 10  _V  _V
6 opeqex 3977 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.  _V  _V  _V  _V
75, 6mpbiri 157 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  _V  _V
87simpld 105 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  >.  _V
98adantr 261 . . . . . . 7 
<. ,  >. 
<. ,  >.  _V
109exlimivv 1773 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  _V
112, 10sylbi 114 . . . . 5  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  _V
12 df-eprel 4017 . . . . 5  _E  { <. , 
>.  |  }
1311, 12eleq2s 2129 . . . 4  <. ,  >.  _E  _V
141, 13sylbi 114 . . 3  _E  _V
1514a1i 9 . 2  V  _E  _V
16 elex 2560 . . 3  _V
1716a1i 9 . 2  V  _V
18 eleq12 2099 . . . 4
1918, 12brabga 3992 . . 3  _V  V  _E
2019expcom 109 . 2  V  _V  _E
2115, 17, 20pm5.21ndd 620 1  V  _E
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808    _E cep 4015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-eprel 4017
This theorem is referenced by:  epelc  4019  smoiso  5858  ecidg  6106  ltpiord  6303
  Copyright terms: Public domain W3C validator